专题10 圆锥曲线与方程（解答题）（10月）（理）（原卷版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题10  圆锥曲线与方程（解答题）

一、解答题

1．（江西省南昌市2021届高三摸底测试（理））已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．

2．（安徽省宣城市2019-2020学年高二下学期期末（文））已知抛物线上的点到焦点F的距离为.

（1）求的值；

（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.

3．（山东省菏泽市成武一中2020届高三数学第二次模拟）如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

4．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期开学摸底检测（理））已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点.

（1）求E的标准方程；

（2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求的面积的最大值.

5．（广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末）已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于A、B两点，且的周长为8．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若过点作圆O(O为坐标原点)：的切线l、直线l交椭圆E于M、N两点，求面积的最大值．

6．（甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高二第二学期期中考试（文））在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆： 的圆心．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线， ，当直线， 都与圆相切时，求的坐标．

7．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学2019-2020学年高二上学期10月月考）（1）已知椭圆的离心率为，准线方程为，求该椭圆的标准方程

（2） 求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）的双曲线方程．

8．（云南省曲靖市宣威市2019-2020学年高二下学期期末（文））已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点．

（1）求的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，求．

9．（四川省泸州市2019-2020学年下学期高二期末统一考试（文））平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离小1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设直线与轨迹相交于，两点，求线段的中点坐标.

10．（云南省保山市2019-2020学年高二教学质量监测考试文科）已知过点的抛物线的焦点为F，直线与抛物线的另一交点为B，点A关于x轴的对称点为.

（1）求p的值；

（2）求直线与x轴交点的坐标.

11．（广西桂林十八中2020届高三（7月份）高考数学（文）第十次适应性试题）设抛物线的焦点为，点是上一点，且线段的中点坐标为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若，为抛物线上的两个动点（异于点），且，求点的横坐标的取值范围.

12．（福建省泰宁第一中学2018-2019学年高二上学期第二阶段考试（文））已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．

（1）求的方程；

（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．

13．（广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期6月月考）已知椭圆：()过两点，，抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，准线方程为.

（1）求､的标准方程；

（2）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点､，且满足直线与直线垂直？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

14．（重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B.

（1）若垂直l于点，且，求AF的长；

（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.

15．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测（理））已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，.

（1）求抛物线T的标准方程；

（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.

16．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次质检（文））已知抛物线的焦点为F，B､C为抛物线T上两个不同的动点，当B，C过F且与x轴平行时，BC长为1.

（1）求抛物线T的标准方程；

（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.

17．（重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（一））已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

18．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）已知抛物线上的焦点为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.

19．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高二（下）期中）已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.

20．（四川省达州市2019-2020学年高二下学期期末（理））已知动点P到点的距离比到直线l：的距离大1.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点的直线与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

21．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．

（1）试求抛物线的方程；

（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．

①求证：直线恒过定点；

②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

22．（黑龙江省哈师大附中2020届高三高考数学（文）四模）设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．

（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；

（2）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．

23．（湘豫名校2020届高三联考（6月）（文））已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点.

（1）若的最小值为，求实数的值；

（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求外接圆的方程.

24．（广西南宁二中柳铁一中2021届高三9月联考数学（文））已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.

25．（人教A版（2019） 选择性必修第二册单元测试）在平面直角坐标系中，已知双曲线．

（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；

26．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

27．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试（文））求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程．

28．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.

29．（黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）（文））已知椭圆的焦距为，短轴长为.

（1）求的方程；

（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.

30．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知椭圆上一点M的纵坐标为2．

（1）求M的横坐标；

（2）求过点M且与共焦点的椭圆方程．

31．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；

（1）求椭圆C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截弦长．

32．（江西九江市第一中学2019—2020学年度高二下学期期末考试（文））已知椭圆的焦点在轴上，对称轴为两坐标轴，离心率，且椭圆经过．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线交椭圆于两点，直线，若在直线上存在点使得四边形为平行四边形，求的取值范围．

33．（四川省攀枝花市七中2021届高三上学期第一次诊断考试（理））已知椭圆，右顶点，上顶点，左右焦点分别为，且，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为的中点，是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点；若不存在，请说明理由．

34．（安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考（理））已知椭圆的左焦点F在直线上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

35．（云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）（理））已知点P是椭圆C：上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点?证明你的结论

36．（湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值．

37．（四川省巴中市2021届高三零诊考试（文））已知椭圆：（）的离心率为，一个焦点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，是椭圆上的两个动点，且线段的中点在直线上.试问：线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

38．（安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考（理））在中，已知，，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为4，求证：直线过定点.

39．（江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考）已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点在椭圆C上，动直线交椭圆C于不同两点A、B，且（O为坐标原点）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）讨论是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

40．（江西省南昌市2021届高三摸底测试（文））已知椭圆：()的左､右焦点分别是､，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆左顶点斜率为1的直线与椭圆的另外一个交点为，求的面积.

41．（湖南师大二附中2020-2021学年高三上学期第一次阶段性考试）已知椭圆的离心率为，长轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，求与的值；

（3）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.

42．（湖南省衡阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.

43．（百万联考2021届高三9月联考）已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程.

44．（百师联盟2021届高三开学摸底联考（理）数学全国卷III试题）已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.

45．（百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国卷数学（文） ）已知椭圆：的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点，求证：.

46．（河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）文科）已知椭圆：,直线：过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.

（1）求椭圆的方程.

（2）设直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在定点,使得当变化时,总有(为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.

47．（安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷文科）已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）在抛物线上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

48．（四川省泸县第一中学2021届高三上学期开学考试（文））已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（1）求直线l的斜率的取值范围；

（2）设O为原点，，，求证：为定值．

49．（福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末）动圆P与圆外切，与直线相切，记圆心P的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）过点作直线l交E于A，B两点，若中点的纵坐标为，且，求的值.

50．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底）已知点为抛物线的焦点，横坐标为1的点在抛物线上，且以为圆心，为半径的圆与的准线相切.

（1）求抛物线的方程；

（2）设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.

51．（上海市七宝中学2021届高三上学期摸底）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于､两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过原点，为双曲线上异于､的一点，且直线､的斜率､均存在，求证：为定值；

（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

52．（陕西省西安市第一中学2020-2021学年高三上学期模拟调研考试（理））椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.

53．（四川省新津中学2021届高三上学期开学考试（理））已知椭圆：经过点，一个焦点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围.