专题04 数列（解答题）（理）（9月第01期）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题04 数列（解答题）
1．（浙江省衢州二中2020届高三（下）适应性数学试卷题）设前n项积为Tn的数列{an}，an＝λ﹣Tn（λ为常数），且是等差数列．
（1）求λ的值及数列{Tn}的通项公式；
（2）设Sn是数列{bn}的前n项和，且bn＝（2n+3）Tn，求S2n﹣Sn﹣2n的最小值．
【答案】（1）， ；（2）.
【分析】（1）当时，，整理得，由是等差数列，可得答案； （2）因为，根据前n项和的定义得到，，令，研究其单调性可得S2n﹣Sn﹣2n的最小值．
【解析】（1）当时，，即，
即，所以，
因为是等差数列，所以，
令，所以，
所以数列{Tn}的通项公式为；
（2）因为，
所以，
令，
所以，
所以，所以数列是单调递增数列，所以，
即.所以S2n﹣Sn﹣2n的最小值为.
【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
2．（内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试题）已知数列和满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列{}的前n项和
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据递推数列及等比数列的定义即可证明；
（2）根据错位相减法求数列的和求解.
【解析】（1）由，
可得，即，
则是首项为3，公比为2的等比数列
（2）由（1）知，，

，
两式相减得

【点睛】本题主要考查了递推关系，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.
3．（安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）通过对变形可知 ，进而计算可得结论；（2）通过可知，利用错位相减法计算可得结论.
【解析】（1） 可得 ，
又，所以数列为公比为2的等比数列，
所以，即
（2），设
则
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
4．（甘肃省天水一中2020届高三高考数学（文科）二模试题）已知数列的前项和为，满足，，
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由得的递推式，然后可证数列为等比数列；
（2）由（1）求得，得出，用错位相减法求出数列的和.
【解析】（1）由，
由，故，进而：，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知：，
故，
分别记数列，的前项和为，，则
，
，
相减得：，
所以，，
故.
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用.
5．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知数列满足，且（）.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）对题中所给式子取倒数得：，可知数列是等差数列，最后得出的通项公式；（2）当时，利用放缩法可得，
然后利用裂项相消法可求得的前n项和，进而可得，又可得出，从而，最后可证明结论.
【解析】（1）对式子取倒数得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即；
（2）
（），
故
，
另一方面：
，
从而，即，
综上得：.
【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用数列性质证明不等式，考查逻辑思维能力和推理能力，属于常考题.
6．（2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（三）理科数学试题）记数列的前项和为，若，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求的表达式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题意可得，从而可得，再利用等比数列的定义即可证明.
（2）由（1）可知，，从而可得，再利用分组求和以及等比、等差的前项和公式即可求解.
【解析】（1）因为，故，
则，则，
故，故是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，，故，
故


．
【点睛】本题考查了等比数列的定义、分组求和、等比、等差的前项和公式，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.
7．（2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（二）文科数学试题）已知数列满足：，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由可得，两式相减后化简得，然后利用累乘法可求出通项公式；（2）利用裂项相消法可求出
【解析】（1）令，则，
当时，，
所以，即，
所以，所以，
所以，
因为 ，所以，满足此式，所以；
（2）因为，
所以

【点睛】此题考查数列的前项和与通项的关系，考查累乘法求通项公式，考查裂项相消法，属于基础题
8．（四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题）已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和，并求的最小值.
【答案】（1）；（2）；.
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件求出首项，进而可求出结果；
（2）由（1）得到，根据错位相减法求出数列的和，进而可得出其最值.
【解析】（1）设等差数列的公差为，，即.
∵是与的等比中项，∴，
即，解得.
∴数列的通项公式为.
（2）由（1）问可知.
∴
.
两式相减

.
∵当时，，当时，；
∴.
【点睛】本题主要考查求等差数列的通项，以及错位相减法求数列的和，涉及等比中项的应用 ，属于常考题型.
9．（山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学试题）已知等差数列中，，，等比数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）（）；（2）（）.
【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，
所以，，
（）；
（2）由（1）得，，
，，所以，
（）.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．（湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一6月月考数学试题）已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知条件，利用累加法即可容易求得通项公式；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法即可容易求得结果.
【解析】（1）因为，所以，累加得
，所以，
又符合上式，所以
（2）由（1）知
所以
故数列的前项和
【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属综合基础题.
11．（贵州省铜仁市思南中学2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；（2）本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【解析】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
（2）因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
12．（四川省广元市苍溪县实验中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷）已知数列满足且
（1）求证：数列为等差数列
（2）求数列的通项公式
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）将条件取倒数可得，从而得证；
（2）利用等差数列先求得，从而得解.
【解析】（1）由 ，得，所以，
所以数列为等差数列，首项为1，公差为2.
（2）由（1）可得，所以
【点睛】本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题.
13．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（一）数学试题）已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由可化为，令，推出，根据的特征即可求出.
（2）根据题意可得，与原式作差再由（1）即可求解.
【解析】（1）由可化为.
令，则，即.
因为，所以，所以，即，故.
（2）由，
可知，
两式作差得，即.
又当时，也满足上式，故.
【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及与的关系，属于中档题.
14．（四川省绵阳市第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题）已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.
求的通项公式；
从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.
【答案】；是数列中的项，理由见解析.
【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式；
写出，将代入验证即可.
【解析】设等差数列的公差为，
根据等差中项的性质可得与的等差中项为，
所以，又因为，即.
所以，，因为公差为正数,所以.
则，则.
的通项公式.
结合可知，，，，.
令，即，符合题意，即.
所以是数列中的项.
【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.
15．（北京市通州区2019-2020学年高二（下）期中数学试题）已知等比数列的公比，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 ．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接根据等比数列的通项公式列式解方程计算即可；
（2）先求出，再根据分组求和的方法求解即可得答案.
【解析】（1）根据题意得：，，
两式相除得：，由于，故， ，
所以数列的通项公式为：.
（2）根据题意得：，
根据分组求和的方法得：
.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，分组求和法，考查运算能力，是基础题.
16．（河南省兰考县第三高级中学卫星试验部2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题）在数列{an}中a1＝1，an＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
（1）证明：数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】（1）证明见解析，；（2）Sn2n
【分析】（1）递推公式通过变形可得1，即可证明数列{}为等差数列，求出其通项公式通过变形即可求得数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法及等比数列的求和公式求解.
【解析】（1）证明：因为an＝3an﹣1+3n+4（，n≥2）.
∴an+2＝3（an﹣1+2）+3n（，n≥2）.∴1
所以数列{}是公差为1，首项为1的等差数列，
所以，则，
所以数列{an}的通项公式为.
（2）令①
则②
②﹣①得

所以，所以.
【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列、等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、错位相减法求和，属于中档题.
17．（江苏省南通市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）设数列的公差为，由题意可得，根据所选条件求得的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）设等比数列的公比为，根据所选条件求得和的值，可求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为.
因为，，成等比数列，则，
故，化简得.
因为，所以，所以.
若选①，则，即，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即，则；
（2）因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，
设数列的公比为，则.
若选①，则，故，，
所以，由，得.
又，则，所以，
所以.
若选②，则，故，，
所以，由，得.
又，则，所以，
所以.
若选③，则，故，，
所以，由，得.
又，则，所以，
则.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
18．（2020年高考全国卷考前冲刺演练文科数学（二）试题）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列中任意两项之积是否仍是数列中的项？并说明理由．
【答案】（1）；（2）（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.
（2）（1），利用等比数列的定义求解；（2）设数列中任意两项分别为，，由（1）得，假设是数列中的项，利用数的特征求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得，，
所以数列的通项公式为．
（2）（1）由，得，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）数列中任意两项之积不是数列中的项.
设数列中任意两项分别为，，
由（1），得，则．
若，是数列中的项，则，
整理得，显然该等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾，
所以不是数列中的项，故数列中任意两项之积不是数列中的项．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的定义以及项与数列的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．（2020高考命题专家预测密卷理科数学（二）试题）设数列的前n项和为,已知,,.
（1）证明:为等比数列,求出的通项公式;
（2）若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.
【答案】（1）证明见解析,;（2）不存在,理由见解析.
【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明为等比数列，再根据和的关系 ，即可求出的通项公式；（2）根据，可采取错位相减法求出的前n项和，然后代入得，，构造函数()，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．
【解析】（1）∵，∴，
因为，所以可推出．
故，即为等比数列．
∵，公比为2，∴，即，
∵，当时，，也满足此式，
∴；
（2） 因为，
∴，两式相减得:
即，代入，得．
令()，在成立，
∴，为增函数，
而，所以不存在正整数n使得成立．
【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
20．（2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷Ⅱ数学（理）试题）已知公比为正数的等比数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，则，，是否成等差数列？并说明理由．
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析.
【分析】（1）设公比为（），代入已知条件可求出的值，从而求出数列的通项公式；（2）根据题意求出数列以及前项和，判断是否为0，可得出结果.
【解析】（1）设公比为（），则，，
代入，得，
因为，得，结合，解得．
又，所以数列的通项公式为：.
（2），则数列是以1为首项、2为公差的等差数列，
所以．
，若，则，
即，所以，若，则，，不能组成等差数列．
【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查数列基本量的运算，考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于中档题.
21．（2020高考命题专家预测密卷文科数学（二）试题）已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，可求得，得通项公式，
由及可得通项公式；
（2）由（1）得，用分组求和法计算．
【解析】（1）设数列的公差为，则，，
∵，，成等比数列，∴，即．
整理得，解得（舍去）或，
∴．
当时，，
当时，．
验证：当时，满足上式，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
∴

．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，由数列前项和求通项公式，考查用分组求和法求数列的和．在中要注意，需验证是否符合这个表达式．
22．（辽宁省本溪满族自治县高级中学2020届高三高考全真模拟统一考试数学（理）试题）已知数列的前项和，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由数列的前项和求通项公式，然后将已知条件利用等比数列的性质进行计算可得答案.
（2）先计算数列的通项公式，然后利用分组求和和裂项相消求和法计算可得结果.
【解析】（1）当时，，当时，，
当时，也满足上式，故，
∵，，成等比数列，∴，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可得，
∴.
【点睛】本题考查由数列的前项和求通项公式，考查分组求和和裂项相消求和法的应用，属于基础题.
23．（山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学试题）已知数列满足，（）.
（1）证明：为等差数列；
（2）设（），求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由可得，根据等差数列的定义可知为等差数列；（2）求出和后，利用裂项求和公式可求得结果.
【解析】（1）因为，
是一个与n无关的常数，
是以为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得，（），
（），


.
【点睛】本题考查了利用定义证明等差数列，考查了裂项求和法，属于中档题.
24．（湖北省宜昌市天问高中2019-2020学年高二（下）开学数学试题）已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，求得，结合“裂项法”，即可求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，且，
因为是与的等比中项，所以，即，
又由，即，整理得，解得或，
因为，所以.所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
25．（陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（理）试题）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【分析】（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
26．（华大新高考联盟名校2020届高考预测考试5月数学文科试题）已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将题中条件转化为与等比数列的首项和公比，求出首项、公比即可求出通项公式；（2）由（1）求出，求出数列的通项公式，即可用裂项相消的形式求出.
【解析】（1），的等差中项为10,,
，解得，,
;
（2）由（1）可知，
，

.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前项和公式的求法，并且考查了用裂项相消法求数列前项和，属于综合题.
27．（陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题）已知数列满足，．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由题设，化简得，即可证得数列为等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得，利用等比数列的前n项和公式，即可求得数列的前n项和．
【解析】（1）由题意，数列满足，所以
又因为，所以，即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得，即，
所以
，即．
【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
28．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）已知数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式.；
（2）设数列满足，数列的前项和.求证：.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【分析】（1）由，整合、从而得到数列的通项公式
（2）根据已知条件知，进而可求的前项和的一般式，判断其单调性，根据单调性确定的范围
【解析】（1）当时，
当时，，
，
∴
（2），
，
∴为单增函数，当取1时，，
又∵，∴.
【点睛】本题考查了利用前n项和求通项公式，及由数列间的关系式求新数列的前n项和公式，并根据单调性求范围.
29．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，，且，，成等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）设为公差，为公比，由题意得，可求得，又由，可求得数列的通项；
（2）由（1）得：，运用分组求和法可求得.
【解析】（1）设为公差，为公比，
由题意得，即，
∵，∴，∴，
又，∴；
（2）由（1）得：，
所以

.
所以.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的求法，考查分组求和法，考查计算能力，属于中档题.
30．（四川省仁寿第一中学南校区2020届高三仿真模拟（二）数学（理）试题）已知等差数列满足，且是，的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用等差数列的基本量结合等比中项的应用，转化已知条件，求得首项和公差，即可容易得到结果；
（2）根据（1）中所求，求得，再用裂项求和法即可求得结果.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，∵，即，
，，，
∴，，，
∵是，的等比中项，
∴，即，解得
∴数列的通项公式为
（2）由（1）得
∴
。
【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及用裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.
31．（山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学（文）试题）已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）设 ，数列的前项和为，求的最小值．
【答案】（1）；，；（2）.
【分析】（1）由得出数列的递推式，累乘法可得通项公式，然后设的公比为，求出后可得通项；（2）用裂项相消法求得和，由得是递增的，从而得最小值．
【解析】（1）

即有，
上式对也成立，则；
为公比设为的等比数列，，．
可得，，则，即，
，；
（2），
前项和为，
，
即，可得递增，则的最小值为．
【点睛】本题考查求数列的通项公式，一是已知与的关系求通项公式，考查累乘法，一是求等比数列通项公式，考查裂项相消法求和及数列的单调性，考查了学生运算求解能力．属于中档题．
32．（四川省绵阳南山中学2019-2020学年高一6月月考数学试题）在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列.
（1）求d，；
（2）若，求.
【答案】（1）或；（）或（）；（2）.
【分析】（1）根据等比中项性质可得，求出公差d，再代入等差数列通项公式，即可得答案；
（2）由可得，再对分两种情况讨论，去绝对值，再进行求和运算；
【解析】（1）由题意得，且，
即，
整理得，解得或.
∴（）或（）.
（2）设数列前n项和为.
∵，由（1）得，，
①当时，，此时.
②当时，，此时.
综上所述，.
【点睛】本题考查等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类讨论思想的应用.
33．（山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学（理）试题）已知公比为整数的正项等比数列满足：，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，，化为：，由，可得：，联立解出即可；（2）由，利用错位相减法即可得出结果.
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，，，化为：，
由，可得：，联立化为：
由，且为整数，可解得，故.
数列的通项公式为：.
（2）由，
数列的前项和，
，
，
化为：.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
34．（四川省眉山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知等比数列的公比，且，的等差中项为5，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
【解析】解析：（1）由题意可得：，∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（2） ∴，
，
上述两式相减 可得，
∴.
【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
35．（安徽省合肥一中2019-2020学年高二（下）开学数学试题）下面四个图案，都是由小正三角形构成.设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

（1）求出，，，；
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：.
【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析
【分析】（1）观察图案的规律即可得到；（2）由（1）可知，第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数等于第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数加上3再加个，即，利用累加法即可得到；（3），利用裂项相消法即可得到证明.
【解析】（1）由题意有：，
，，
，﹒
（2）由题意及（1）知，，
即.
∴


.
（3）∵，，

.
所以对于任意，原不等式成立.
【点睛】本题考查推理与证明，涉及到归纳推理、累加法求通项、等差数列求和以及数列不等式的证明，考查学生逻辑推理能力，是一道较为综合的题.
36．（四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一4月月考数学试题）已知公差不为的等差数列的前项和为， 且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列．可得：，即，，联立解得即可得出．（2）由（1）可得：，可得，．利用裂项相消法求和方法即可得出．
【解析】（1）因为公差不为的等差数列的前项和为，
且成等比数列．∴，即，即
， 即，
联立解得：，∴ .
（2）由（1）可得： ，
∴，∴ ，
∴数列的前项和
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项相消法求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．