课时作业(二十五) 抛物线及其标准方程

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1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
3．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为( )
A．2eq \r(2) B．4
C．±2eq \r(2) D．±4
4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝( )
A．9 B．6
C．4 D．3
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
6．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[提能力]
7．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取( )
A．1 B．2
C．9 D．18
8．(多填题)已知M为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F(2,0)为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若∠MFO＝120°，N(－2,0)，则p＝__________，△MNF的面积为__________．
9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[战疑难]
10．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为________．
课时作业(二十五)
1．解析：由抛物线的方程得eq \f(p,2)＝eq \f(4,2)＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案：B
2．解析：由题意知，a＝eq \r(6)，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(a2－b2)＝2.∴椭圆的右焦点为(2,0)，即抛物线的焦点为F(2,0)，
∴eq \f(p,2)＝2，p＝4.
答案：D
3.
解析：由题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，
若M为FN的中点，如图所示，
可知M的横坐标为1，则M的纵坐标为±2eq \r(2)，故选C.
答案：C
4．解析：因为eq \(FA,\s\up10(→))＋eq \(FB,\s\up10(→))＋eq \(FC,\s\up10(→))＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq \(FA,\s\up10(→))|＋|eq \(FB,\s\up10(→))|＋|eq \(FC,\s\up10(→))|＝xA＋eq \f(p,2)＋xB＋eq \f(p,2)＋xC＋eq \f(p,2)＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
答案：B
5．解析：根据抛物线的定义得1＋eq \f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－eq \r(a)×2＝－1，故a＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
6．解析：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，所以kAF＝eq \f(4,3)，则直线FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq \f(3,4)，则直线MN的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋2.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4)x＋2,y＝\f(4,3)x－1))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5),y＝\f(4,5)))，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
7．解析：由抛物线y2＝2px(p>0)可得准线l的方程为：
x＝－eq \f(p,2).
设点M(x1，y1)．∴yeq \\al(2,1)＝2px1.
∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6.
∴x1＋eq \f(p,2)＝10，y1＝±6，yeq \\al(2,1)＝2px1.
解得x1＝1，p＝18，或x1＝9，p＝2，
即p的值分别为18,2.
故选BD.
答案：BD
8．解析：如图所示做出图像，过M作ME⊥x轴，由F(2,0)为该抛物线的焦点，得eq \f(p,2)＝2，则p＝4，所以y2＝8x.
∵∠MFO＝120°，∴∠MFE＝60°，
在Rt△MEF中，∠FME＝30°
设EF＝a(a>0)，则有MF＝2a，ME＝eq \r(3)a
∴OE＝OF＋EF＝a＋2，即M(a＋2，eq \r(3)a)
代入抛物线解析式得：3a2－8a－16＝0，即(3a＋4)(a－4)＝0
解得a＝－eq \f(4,3)(舍)或者a＝4
∴ME＝4eq \r(3).∵NF＝4，∴S△MNF＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(3)＝8eq \r(3).
答案：4 8eq \r(3)
9.
解析：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±eq \r(12)，
因为eq \r(12)>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
10．解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，准线与x轴交于点G，则由已知得，|BC|＝2a，由定义得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1.∵BD∥FG，∴eq \f(1,p)＝eq \f(2,3)，解得p＝eq \f(3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x