冲刺训练01：空间向量及其线性运算-2020-2021学年高二数学期末满分冲刺训练（人教A版2019选择性必修第一册）

冲刺训练01：空间向量及其线性运算

1．如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且.用表示向量的结果是（ ）

A． B．
C． D．
2．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
3．如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B． C． D．
4．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为(　　)
A． B． C． D．
5．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则　　
A．0 B． C．2 D．
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中正确的是(　　)
A．与是一对相等向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相等向量
D．与是一对相反向量
7．在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时,（ ）
A． B． C． D．
8．已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（ ）
A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．一定不共面
9．设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
10．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形


11．已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．
12．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果为________．
13．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．
14．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①;②;③;④.
其中正确的是_____.
15．如图所示，、分别是空间四边形的边、的中点.试判断向量与向量、是否共面.

16．在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
17．给出下列命题：
①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.
其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
18．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____． 

19．在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.

20．已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________


21．如图，点M，N分别在对角线上，且．求证：向量共面．


22．已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
23．在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.

24．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交棱于点D，E，F，若，求证：为定值．

25．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若、、、四点共面，求的值.
26．如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.

（1）试用表示；
（2）求模.
27．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
28．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
29．已知在空间直角坐标系中，.
（1）求；
（2）若点M满足，求点M的坐标；
（3）若，求.
30．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

冲刺训练01：空间向量及其线性运算

1．如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且.用表示向量的结果是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得.
【详解】如图所示:

因为





.
故选:D
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.
2．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】先证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.
【详解】设且，
则，，
则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.
对于A选项，，，、、、四点不共面；
对于B选项，，，、、、四点共面；
对于C选项，，，、、、四点不共面.
故选：B.
【点评】本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题.
3．如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意用向量去表示，再由，即可得出结果.
【详解】
由图可得，
所以.
故选：A
【点评】本题主要考查空间向量的运算，属于中档题.
4．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系

则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）
因为
所以
所以

所以
所以
所以选A
【点评】本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题．
5．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则　　
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量与，利用数量积的运算法则求解即可求．
【详解】如图所示，
棱长为2的正四面体中，
因为分别是的中点，
所以


，故选B．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中正确的是(　　)
A．与是一对相等向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相等向量
D．与是一对相反向量
【答案】D
【分析】根据向量相等，相反向量的概念，逐一分析即可.
【详解】A. 取AD,的中点M,N，则：,，两者不是一对相等向量；
B. ，，两者是一对相等向量；
C. ，，两者是一对相反向量；
D.设底面的中心分别为P,Q，则：
，，
两者是一对相反向量；

故选：D.
【点评】本题主要考查了向量相等，相反向量等概念，属于中档题.
7．在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时,（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知平面，直线，根据题意知，当为的中心、为线段的中点时，、最短，然后利用、表示，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出的值.
【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，平面，直线，
当、最短时，平面，，
所以，为的中心，为的中点，
此时，，，
平面，平面，，.
又，.
故选：A.
【点评】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（ ）
A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．一定不共面
【答案】C
【分析】先利用共面向量定理得到，知C 正确，B、D错误；再由作为基底，判断四点位置形成凹四边形，四点不共圆，A错误．
【详解】因为非零向量不共线，，，，
所以，所以，
由共面向量定理可知，A，B，C，D四点共面，故A 正确，B、D错误；
不妨设是该平面内向量的单位正交基底，易知A、B、C、D四点构成一个凹四边形，此时四点不共圆，故A错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题.
9．设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则( )
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
【答案】A
【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由可得：，结合题意可知：
，
即：，，
据此可知：APB三点共线，点P一定在直线AB上.
本题选择A选项.
【点评】本题主要考查空间向量基本定理，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
【答案】B
【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形.
【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故选B.
【点评】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题.


11．已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．
【答案】
【分析】由题得存在，使得，解方程组即得解.
【详解】若向量，，共面，则存在，使得，
∴，
∴解得．
故答案为：
【点评】本题主要考查共面向量定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
12．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果为________．
【答案】
【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】如图，取BC的中点F，连结DF，则，
∴.

【点评】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．
【答案】
【分析】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．
【详解】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．
由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，
∴||＝．
故答案为
【点评】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量的模.
14．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①;②;③;④.
其中正确的是_____.
【答案】①②③
【分析】在平行六面体中，根据向量的加法减法法则，向量的相等，逐一验证各选项即可.
【详解】由题意得,①正确;,②正确;③显然正确;因为,所以④不正确.
故答案为①②③
【点评】本题主要考查了向量加法、减法运算法则，向量平行及向量的相等，属于中档题.
15．如图所示，、分别是空间四边形的边、的中点.试判断向量与向量、是否共面.

【答案】向量与向量，共面.
【分析】利用空间向量的加法法则可计算得出，由此可得出结论.
【详解】由题图可得，①；，②.
，.
由①②得，即，
故向量与向量、共面.
【点评】本题考查空间向量共面问题，考查了空间向量加法法则的应用，属于中等题.
16．在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
【答案】（或C或边上的任意一点）
【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.
【详解】解：因为点P满足，其中，且，
所以点三点共面，
因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，
所以,
连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，
故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）
故答案为：（或C或边上的任意一点）

【点评】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.
17．给出下列命题：
①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.
其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【解析】，，则
则，直线与垂直，故①正确
，，则
则，或，故②错误
，，与不共线，
不成立，故③错误
点，，
，
向量是平面的法向量
，即，解得，故④正确
综上所述，其中真命题是①，④
点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积，利用数量积进行判断，②求数量积，利用数量积进行判断，③求利用与的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．
18．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____． 

【答案】
【分析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
【点评】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
19．在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.

【答案】
【分析】利用三角形加法运算法则得出，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.
【详解】解：在四面体中，、分别是、的中点，
则




.
故答案为：.
【点评】本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
20．已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________

【答案】
【分析】设,则,根据空间四点共面的条件，又四点共面，则，即得出答案.
【详解】设.
则,,.
由为底面中心,



又因为四点共面,所以且.
所以，即
即.
故答案为：.

【点评】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.

21．如图，点M，N分别在对角线上，且．求证：向量共面．


【答案】证明见解析.
【分析】由题意，在上取点，使，从而可证，，从而可证向量，，共面．
【详解】证明：如图，在上取点，使，
又，
，又，
，
同理，，
故由、、共面可知，
向量，，共面．

【点评】本题考查了向量的概念及线线平行的证明，属于中档题．
22．已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】由与的夹角为钝角可得与的数量积小于零，排除反向向量的情况即可得结果.
【详解】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.
由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.
若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，
即(5,3,1)＝λ，所以
解得t＝－.
所以t的取值范围是∪.
【点评】本题主要考查空间向量的夹角，以及空间向量数量积公式的性质与应用，属于中档题.本题的易错点是：当两个向量方向相反时，其数量积也小于零，此时不合题意.
23．在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.

【答案】答案见解析．
【分析】根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.
【详解】,在图中表示如下图所示．

【点评】本题主要考查了向量加法、减法的运算法则，及相反向量，属于中档题.
24．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交棱于点D，E，F，若，求证：为定值．

【答案】证明见详解.
【分析】选定一组基底以后，，从不同的途径将表示出来，根据分解的唯一性，
最后表达式是唯一的，即可得出为定值.
【详解】
证明：连接并延长，交于点H，由题意，
可令作为空间向量的一组基底，
．
连接．因为点D，E，F，M共面，所以存在唯一的实数对，
使，即，
所以．
由空间向量基本定理，知，，
所以，为定值．
【点评】本题主要考查了向量的运算，以及空间向量基本定理，属于中档题.
25．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若、、、四点共面，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据，利用向量垂直时，数量积为，即可得的值；
（2）根据、、、四点共面，得，，使得，利用坐标运算，即可得的值.
【详解】（1），得，，
，，解得；
（2）由、、、四点共面，得，，使得，，
，，解得.
【点评】本题主要考查的是空间向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，点共面的向量运算，考查学生的理解能力，计算能力，是基础题.
26．如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.

（1）试用表示；
（2）求模.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.

（2）由（1）得，根据向量的模的运算及向量的数量积，即可得出答案.
【详解】（1），
.
（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以，

.
.
【点评】本题考查空间向量的加减法运算和向量的模，以及运用向量的数量积运算，同时考查空间想象能力和计算能力.
27．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.
【详解】(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为
.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
【点评】本题主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，属于中档题.
28．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】（1），
因为，同理可得，
所以．
（2）因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法，属于中档题.
29．已知在空间直角坐标系中，.
（1）求；
（2）若点M满足，求点M的坐标；
（3）若，求.
【答案】（1），，；（2）；（3）16.
【分析】先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量的坐标运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为，所以.
所以，又
所以，又
所以.
（2）由（1）知，
若设M(x，y，z)，则
于是，解得，故
（3）由（1）知，.

【点评】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
30．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】(1) 设D(x，y，z)，由∥，∥，得到解方程组即得解.(2) 假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β),所以解之即得解.
【详解】(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，
＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)．
所以故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立．
【点评】本题主要考查空间向量的平行的坐标表示，考查向量的相等，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.