专题4 圆锥曲线专题复习试卷-2020-2021学年高二数学上学期期末复习专题训练（江苏专用）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.
故焦点坐标为故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标,首先将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.
2.若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意有，所以.故选：B.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题.
3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点,在轴上，离心率为，点为椭圆上一点，且的周长为18，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，解得，
又因为，所以椭圆的方程为：，故选B.
【点睛】本题考查了椭圆的定义与离心率,属于基础题.
4.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
，解得：，双曲线方程为：.故选:D
【点睛】本题考查了双曲线渐近线,属于基础题.
5.已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点P，且满足，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】因为，不妨令，，，
因为点P是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义可得：，，
因此，，所以.故选：C.
【点睛】本题考查了求椭圆与双曲线的离心率，属于基础题型.
6.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】已知双曲线 的离心率为，
即
双曲线的渐近线方程为： 故答案为B.
【点睛】这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基础题.
7.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】当直线垂直于轴时，，不符合题设；
当直线不垂直于轴时，设方程为，即.
点到直线距离.
联立得，
设,
则由韦达定理得,,,
所以由弦长公式得,
,
因为的面积为,所以，所以，
所以. 故选C.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系以及弦长公式,属于中档题.
8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，考查分析问题与运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
【答案】ABD
【解析】将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，所以，故D正确．故选：ABD
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
10.双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为B. 双曲线与双曲线C的渐近线相同
C. 若，则的面积为D. 的最小值为2
【答案】ABC
【解析】对于选项A，由双曲线方程,可得即，则离心率为，即选项A正确；
对于选项B，它们的渐近线都是，渐近线相同，选项B正确；
对于选项C，结合，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，则直线PF的方程为，即，联立方程组，解得，故点，所以的面积为，故选项C正确；
对于选项D，因为点，其中一条渐近线的方程为，所以的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为，所以选项D错误，
综上，只有选项ABC正确，故选:ABC．
【点睛】本题考查了双曲线的离心率、渐近线等有关知识,重点考查了运算能力,属中档题.
11.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．B．
C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】∵椭圆
∴
对于选项A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A错误；
对于选项B，，∴
∴，∴
∴，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C，轴，且，∴
∵∴，解得
∵，∴∴，不满足题意，故C错误；
对于选项D，四边形的内切圆过焦点
即四边形的内切圆的半径为c，∴
∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D正确．故选：BD．
【点睛】本题考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，属于中档题.
12.已知双曲线C1：的实轴长是2，右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )
A．双曲线C1的离心率为2 eq \r(3) B．抛物线C2的准线方程是x＝－2
C．双曲线C1的渐近线方程为y＝± eq \r(3)x D. |AF|＋|BF|＝
【答案】BC
【解析】由题意可知对于C1：，实轴长为2a=2，即a=1，而C2：y2＝8x的焦点F为（2，0），所以c=2，则双曲线C1的方程为，则对于选项A，双曲线C1的离心率为，所以选项A错误；对于选项B，抛物线C2的准线方程是x＝－2，所以选项B正确；对于选项C，双曲线C1的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以选项C正确；对于选项D，由y2＝8x与联立可得A（3，），B（3，），所以由抛物线的定义可得 |AF|＋|BF|＝，所以选项D错误，综上答案选BC.
【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的几何性质属于中档题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为，故答案为：
【点睛】本题考查了已知椭圆焦点位置,求参量的取值范围,属于基础题.
14.阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为_______.
【答案】
【解析】设椭圆方程为，则由已知得，解得，椭圆方程为．故答案为：．
【点睛】本题考查了以数学文化为背景椭圆方程的求法,属于基础题.
15.椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________．
【答案】1
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴为，虚轴为，因为椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以，即，平方得，
化简得，所以，
所以，即，所以
因为均为正数，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故答案为：1；
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线离心率,考察了基本不等式求最值,属于中档题.
16.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线， 分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为_______.
【答案】
【解析】设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1
令x=0，yD=，令y=0，可得xC=，所以S△OCD=，
又点B在椭圆的第一象限上，所以x2，y2＞0，，
即有，
S△OCD≥，当且仅当==，
所以当B（1，）时，三角形OCD的面积的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查了类比椭圆性质以及基本不等式求最值,属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设双曲线的渐近线为，焦点在轴上且实轴长为.若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和等于，并且曲线：（是常数）的焦点在曲线上.
（1）求满足条件的曲线和曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于点、（在轴左侧），若，求直线的倾斜角.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）双曲线满足：，解得，
则，于是曲线的焦点、，
曲线是以、为焦点的椭圆，
设其方程为（），解，得，
所以的方程：，
依题意，曲线：（）的焦点为，
于是，所以，所以的方程：
（2）由过点的直线交曲线于点、（在轴左侧），且，
可知直线的斜率，则设直线的方程为（），
由得，，
由求根公式得：，，
由于，可得，
于是，解得：，
由于，所以，直线的倾斜角为.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆锥曲线的方程，以及椭圆和双曲线的几何性质，还涉及向量共线问题和直线与抛物线的位置关系，联立方程是关键，属于基础题.
18.如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.
（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；
（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为
因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒
故
故点的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为
由题可知，解得，
故点的轨迹方程为.
（2）因为，设的垂直平分线方程为
则，则的垂直平分线方程为
联立可得，故
故观察员遇险地点坐标为
与检测中心的距离为.
（3）设轨迹上一点为，
则
又因为，可得
代入可得：
当且仅当时，取得最小值.
故扫描半径至少是.
【点睛】本题考查了双曲线应用,属于基础题.
19.已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.
（1）求p，m的值；
（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l的方程及弦的长.
【答案】（1），；（2）；.
【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，
∴，∴，解得：.
（2）法一：当直线l的斜率不存在时显然点P不是的中点，所以直线l的斜率存在，设直线，且，设，
由得：，且
因为为中点，所以，所以
此时直线l的方程为：），即.
所以
法二：设，，则，两式作差得：，
∴，
∵为的中点，∴，∴，
∴直线l的方程为：，即.
将直线与抛物线联立，整理可得，
所以，，
所以
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系,属于基础题.
20.已知椭圆经过点，是的一个焦点，过点的动直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点（异于点），对任意的动直线（斜率存在）都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在这样的定点，坐标为，详见解析
【解析】（1）由题意得，
所以，
即椭圆的方程为：.
（2）假设存在这样的点，设点，点，
设直线，联立，消去得，
所以.
因为，，
，
，
，
整理得：.
因为任意的直线（斜率存在）都成立，
所以，解得，所以存在这样的定点，坐标为.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线过定点等知识，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用,属于中档题.
21.已知椭圆过点，且右焦点为，右顶点为A.过点F的弦为.直线、直线分别交直线于P、Q两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线、的斜率之积为定值；
（3）若，求m的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）由题意，解得：，所以
（2）设，则，
与椭圆联立方程组：
解得，或，，所以.
.
（3）显然，所以.
设，，同理.
所以，
又，所以，所以.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分析能力与运算求解能力，属于中档题.
22.已知椭圆C： (a＞b＞0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若y轴上的一点Q满足QA＝QB，求证：线段QM的中点在定直线上；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）由于椭圆C的短轴长为2，所以b＝1，
因为椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为，
所以a＋c＝＋1，
又因为b2＝a2－c2，所以a－c＝－1，所以a＝，c＝1．
所以椭圆C的方程为；
（2）显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，
代入整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
所以，
所以直线QM的方程为．
令x=0，得，则yQ＝－yM，即，
所以QM的中点在定直线x轴上．
（3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，，由（2）中知，
由(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，得，即k2>，
又，
所以，
令，则，
由k2>，得，即，
解之得且λ≠1，即的取值范围为．
【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线相交问题,常见解题步骤如下：
（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解;属于中档题.