专题4.3 二项分布与超几何分布（B卷提升篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.3二项分布与超几何分布（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的

B．4个全是好的

C．恰有2个是好的

D．至多有2个是坏的

【答案】C

【解析】

对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.

2．（2020·重庆九龙坡·期末）在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，

由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时

当1个正品3个次品时

所以正品数比次品数少的概率为

所以选A

3．（2020·全国高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，

满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，

因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，

所以，

故选：B.

4．（2020·天山·新疆实验期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于（   ）

A． B．

C． D．1

【答案】C

【解析】

由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，

它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，

于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

故选C

5．（2020·大连市一〇三中学高二开学考试）有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝.

6．（2020·四川绵阳·期末（理））设随机变量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为随机变量，

所以

整理得：，

解得：或（舍）

，

故选：B

7．（2020·江苏张家港·期中）某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

记投篮命中的次数为随机变量，

由题意，，

则投篮命中次的概率为，

由得，即，即，

解得，又，

因此时，取最大值.

即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.

故选：D.

8．（2020·寿县第一中学其他（理））已知甲罐子里有5个红球3个黑球，乙罐子里有3个红球、2个黑球和3个白球，现在从甲罐子里取出2个球放入乙罐内，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

若从甲罐子中取出2个红球，则对应的概率为，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是；

若从甲罐子中取出1个红球和1个黑球，则对应的概率为，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是；

若从甲罐子中取出2个黑球，则对应的概率为，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是，

综上，这两个小球是1个黑球1个红球的概率是.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·山东任城·济宁一中高二期中）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是(    )

A．这5个家庭均有小汽车的概率为

B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

【答案】ACD

【解析】

由题得小汽车的普及率为，

A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；

B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；

C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；

D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题.

故选：ACD.

10．（2020·江苏徐州·期末）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ）

A．取出的最大号码X服从超几何分布

B．取出的黑球个数Y服从超几何分布

C．取出2个白球的概率为

D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为

【答案】BD

【解析】

一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，

对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，

也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，

由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；

对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，

由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；

对于，取出2个白球的概率为，故错误；

对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

则取出四个黑球的总得分最大，

总得分最大的概率为，故正确．

故选：．

11．（2020·襄阳市第一中学月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【解析】

一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；

③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.

故选：ABD.

12．（2020·江苏徐州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（    ）

A．X服从二项分布 B．

C．X的期望 D．X的方差

【答案】ABC

【解析】

由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，

且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：

①后4个数出现0，，记其概率为；

②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；

③后4位数位出现2个1，，记其概率为，

④后4个数为上出现3个1，记其概率为，

⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，

故，故正确；

又，故正确；

，，故正确；

，的方差，故错误．

故选：．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2019·黄梅国际育才高级中学月考（理））李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为__________.

【答案】

【解析】

设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为的超几何分布，且，

故所求概率为，

故答案为：.

14．（2020·陕西旬邑·月考（理））某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是；

③他至少击中目标1次的概率是．

其中正确结论的序号是____．(写出所有正确结论的序号)

【答案】①③

【解析】

∵射击一次击中目标的概率是0.9，

∴第3次击中目标的概率是0.9，

∴①正确，

∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，

∴本题是一个独立重复试验，

根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1

∴②不正确，

∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14．

∴③正确

15．（2019·黄梅国际育才高级中学月考（理））下列命题中，正确的命题的序号为__________．

①已知随机变量服从二项分布，若，，则；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

③设随机变量服从正态分布，若，则；

④某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.

【答案】②③④.

【解析】

根据二项分布的数学期望和方差的公式，

可得，解得，所以①错误的；

根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②是正确的；

由正态分布的图象的对称性可得，

所以③是正确的；

由独立重复试验的概率的计算公式可得，，由组合数的公式，可得当时取得最大值，所以④是正确的，

所以正确命题的序号为②③④.

16．（2019·浙江高三其他）已知随机变量，且X的数学期望，方差，则____________， ____________.

【答案】       

【解析】

由二项分布的期望和方差的计算公式知，解得

则．

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·湖北十堰·高二期末）已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.

（1）设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求的概率（结果精确到0.1）及X的数学期望；

（2）试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999？

附：.

【答案】（1）0.2，9；（2）3颗.

【解析】

（1）依题意得，

则，

X的数学期望.

（2）设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999，

则，

则，

解得，

故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.99.

18．（2020·江苏张家港·期中）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，，每个项目测试的概率都是.

（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；

（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】

分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；

（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望.

详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为

；

（2）因为每人可被录用的概率为

，

所以，

，

，

；

故随机变量X的概率分布表为：

所以，X的数学期望为

．

19．（2020·四川乐山·期末（理））某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体人数很多任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）86，87.5；（2）；（3）

【解析】

由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数．

被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为，，，．

从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率．

由题意可得：．

分布列是

根据二项分布的性质得到：.

20．（2020·滨海县八滩中学其他）某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：

（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由题意得，解得，

又，解得，

记甲、乙两人所付车费相同的事件为A，

则；

（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，随机变量可能取值为：0，1，2，3，4，5

， ，

 ， ，

 ， .

的分布列为：

21．（2020·襄阳市第一中学月考）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对一批小白鼠进行做接种试验.该实验的设计为两个阶段；

（Ⅰ）第一阶段：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行2个周期；

（Ⅱ）第二阶段：待白鼠体内疫苗实效后，在出现Z症状的小白鼠中选6只，在没出现Z症状的小白鼠中选4只，挑出6只进行第二次接种试验．

已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．

（1）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；

（2）记表示第二阶段接种的小白鼠中第一阶段出现症状的只数，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，

【解析】

（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为，

 在第二天接种后当天出现症状的概率为：，

能参加第三天试验但不能参加下一个接种周期的概率为：，

∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：

；

（2）因为表示第二阶段接种的小白鼠中第一阶段出现症状的只数，则服从超几何分布即：

；

所以的分布列为

随机变量的数学期望为：

22.（2020·辽宁葫芦岛·期末）随着科学技术和电子商务的发展，近年来人们的购物方式发生了翻天覆地的变化，网络购物成为当下流行的购物方式，同时网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，除了各大商场逐渐萧条外，居民区的蔬菜水果市场受到一定程度的影响.统计部门为了解市场情况以及查找原因，在民安社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”的家庭（方式甲）和“利用网络购买水果蔬菜”的家庭（方式乙）进行抽样调查统计：从民安社区随机抽取了户家庭进行调查研究，将消费金额（元）按照大于元且不超过元、超过元且不超过元、超过元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有户.统计结果如下表：

（1）从民安社区随机抽取户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率；

（2）从样本中的高消费群体里任取户，用来表示这户中仅用方式乙的家庭，求的分布列和数学期望；

（3）将上个月样本数据中的频率视为概率.现从民安社区（民安社区家庭数量很多）随机抽取户，发现有户本月的消费金额都在元以上.根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化?说明理由.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案见解析.

【解析】

（1）依样本数据可知两种购买方式都使用的人数为户，样本数量为，

所以可估计上个月两种购买方式都使用的概率；

（2）根据题意，样本中高消费群体共户，仅用方式乙购买的家庭户，

所以，随机变量的可能取值有、、、，

，，，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，随机变量的数学期望为；

（3）设事件“从该社区抽取户消费金额在元以上家庭”，则，

抽取次，可设高消费家庭出现次数为，则有，

所以，

由于比较小，概率小的时间一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.