人教版九年级上册23.1 图形的旋转同步练习题

这是一份人教版九年级上册23.1 图形的旋转同步练习题，共11页。试卷主要包含了1 图形的旋转 培优训练等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8道小题）


1. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )


A．(－2，3) B．(－3，2)


C．(2，－3) D．(3，－2)





2. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有( )





A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





3. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )





A．①④ B．②③ C．②④ D．③④





4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( )





A．(－1，2) B．(1，4)


C．(3，2) D．(－1，0)





5. 如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )





A．(－4，1) B．(－1，2)


C．(4，－1) D．(1，－2)





6. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝eq \r(3)，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )





A．(eq \r(3)，－1) B．(1，－eq \r(3))


C．(2，0) D．(eq \r(3)，0)





7. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，eq \r(3))，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )


A．(eq \r(3)，1) B．(eq \r(3)，－1)C．(2，1) D．(0，2)





8. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )





A．90°－α B．α C．180°－α D．2α





二、填空题（本大题共8道小题）


9. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．








10. 如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．








11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________ cm.








12. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.








13. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．








14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．








15. 2018·陕西 如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF＝eq \f(1,2)AB；G，H是BC边上的点，且GH＝eq \f(1,3)BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是eq \f(S1,S2)＝________．








16. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－eq \f(\r(3),3)x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－eq \f(\r(3),3)x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．








三、解答题（本大题共4道小题）


17. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．




















18. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.


(1)如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；


(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．




















19. (1)如图 (a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.


①求证：BE＋CF＞EF；


②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．


(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．




















20. 如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝eq \r(3)，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．




















人教版 九年级数学 23.1 图形的旋转 培优训练-答案


一、选择题（本大题共8道小题）


1. 【答案】A [解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.





2. 【答案】D





3. 【答案】D [解析] 先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.





4. 【答案】C





5. 【答案】D





6. 【答案】A





7. 【答案】A [解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，





∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.


∵点A的坐标为(1，eq \r(3))，∴AE＝1，OE＝eq \r(3)，


∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝eq \f(1,2)OA′＝1，OF＝eq \r(3)，∴A′(eq \r(3)，1)．


故选A.





8. 【答案】C [解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.


∵∠EDB＋∠ADB＝180°，


∴∠C＋∠ADB＝180°.


由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.


∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.





二、填空题（本大题共8道小题）


9. 【答案】(－2，2) [解析] △ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A的对应点的坐标为(－2，2)．





10. 【答案】(1，0)





11. 【答案】(10－2 eq \r(6)) [解析] 如图，过点A作AG⊥DE于点G.由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，





∴∠AED＝∠ADG＝45°，


∴∠AFD＝∠AED＋∠CAE＝60°.


在Rt△ADG中，AG＝DG＝eq \f(AD,\r(2))＝3 eq \r(2)(cm)．


在Rt△AFG中，GF＝eq \f(AG,\r(3))＝eq \r(6)(cm)，AF＝2FG＝2 eq \r(6)(cm)，


∴CF＝AC－AF＝(10－2 eq \r(6))cm.





12. 【答案】eq \r(13) [解析] ∵α＋β＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE＝AB＝3，AF＝AC＝2，∴EF＝eq \r(AE2＋AF2)＝eq \r(13).





13. 【答案】①②③





14. 【答案】15° [解析] 由旋转的性质可知AB＝AD，


∠BAD＝150°，∴∠B＝∠ADB＝eq \f(1,2)×(180°－150°)＝15°.





15. 【答案】eq \f(3,2) [解析] ∵eq \f(S1,S△AOB)＝eq \f(EF,AB)＝eq \f(1,2)，eq \f(S2,S△BOC)＝eq \f(GH,BC)＝eq \f(1,3)，


∴S1＝eq \f(1,2)S△AOB，S2＝eq \f(1,3)S△BOC.


∵点O是▱ABCD的对称中心，


∴S△AOB＝S△BOC＝eq \f(1,4)S平行四边形ABCD，∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(3,2).





16. 【答案】9＋3 eq \r(3) [解析] 将y＝1代入y＝－eq \f(\r(3),3)x，解得x＝－eq \r(3).


∴AB＝eq \r(3)，OA＝2，且直线y＝－eq \f(\r(3),3)x与x轴所夹的锐角是30°.


由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋eq \r(3)＋1＝3＋eq \r(3).


∴OO12＝6×(3＋eq \r(3))＝18＋6 eq \r(3).


∴点O12的纵坐标＝eq \f(1,2)OO12＝9＋3 eq \r(3).





三、解答题（本大题共4道小题）


17. 【答案】


解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连接DF.由旋转的性质，得CE＝CF，AF＝BE＝2，∠ACF＝∠BCE，∠CAF＝∠B＝45°.





∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，


∴∠DCF＝∠ACD＋∠ACF＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°，∴∠DCE＝∠DCF.


在△CDE和△CDF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CE＝CF，,∠DCE＝∠DCF，,CD＝CD，))


∴△CDE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF.


∵∠DAF＝∠BAC＋∠CAF＝45°＋45°＝90°，


∴△ADF是直角三角形，∴DF2＝AD2＋AF2，∴DE2＝AD2＋BE2＝32＋22＝13，


∴DE＝eq \r(13).





18. 【答案】


解：(1)证明：连接EG，AF，则EG＝AF.


由旋转的性质可得EG＝BD，∴AF＝BD.


又∵AD＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCD.


∴FD＝CD.





(2)分两种情况：①若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边，如图(a)．


∵GC＝GB，


∴∠GCB＝∠GBC，∴∠GCD＝∠GBA.


又CD＝BA，∴△GCD≌△GBA，


∴DG＝AG.


又∵AG＝AD，


∴△ADG是等边三角形，


∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.


②若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边，如图(b)．


同理，△ADG是等边三角形，


∴∠DAG＝60°.此时α＝300°.


综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.





19. 【答案】


解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.


∴DG＝DE，CG＝BE.


又∵DE⊥DF，


∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.


∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，


∴BE＋CF＞EF.


②BE2＋CF2＝EF2.


证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.


由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，


∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.





(2)EF＝BE＋CF.


证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，


∴将△CDF绕点D逆时针旋转120°得到△BDM，


∴△BDM≌△CDF，


∴DM＝DF，BM＝CF，∠BDM＝∠CDF，∠DBM＝∠C.


∵∠ABD＋∠C＝180°，


∴∠ABD＋∠DBM＝180°，


∴点A，B，M共线，


∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠BDC－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF.


在△DEM和△DEF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DE＝DE，,∠EDM＝∠EDF，,DM＝DF，))


∴△DEM≌△DEF，


∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋CF.





20. 【答案】


解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC＝1，





∴PP′＝PB＝eq \r(3)，∠BPP′＝∠BP′P＝60°.


在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋(eq \r(3))2＝22＝PA2，


∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°，


∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°，


∴∠BPC＝∠BP′A＝150°.


在Rt△APP′中，∵PA＝2，AP′＝1，


∴∠APP′＝30°.


又∵∠BPP′＝60°，


∴∠APB＝90°，


∴在Rt△ABP中，AB＝eq \r(PA2＋PB2)＝eq \r(22＋（\r(3)）2)＝eq \r(7)，


即等边三角形ABC的边长为eq \r(7).