九年级上册23.1 图形的旋转测试题

这是一份九年级上册23.1 图形的旋转测试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 23.1 图形的旋转 同步培优

一、选择题
1. 2018·绵阳 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为(　　)
A．(4，－3) B．(－4，3)
C．(－3，4) D．(－3，－4)

2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为(　　)

A. B．2
C．3 D．2

3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是(　　)

A．(－1，2) B．(1，4)
C．(3，2) D．(－1，0)

4. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　　)

A．(－1，2＋) B．(－，3)
C．(－，2＋) D．(－3，)

5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是(　　)

A．AC＝AD B．AB⊥EB
C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC

6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为(　　)
A．(，1) B．(，－1) C．(2，1) D．(0，2)

7. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　　)

图7－ZT－1
A．(－1，2＋) B．(－，3)
C．(－，2＋) D．(－3，)

8. 2018·桂林 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在边CD上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为(　　)

A．3 B．2 C. D.

二、填空题
9. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.


10. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 .将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．

11. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.

12. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．


13. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．

14. 在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________．

15. 一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．

16. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.

17. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．

18. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．


三、解答题
19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．







20. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．








21. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
(1)探究1：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为a2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)
(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．






22. (1)如图 (a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．
(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．






同步培优答案
一、选择题
1. 【答案】B　[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(－4，3)．


2. 【答案】A　[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.
在Rt△BED中，BD＝＝.故选A.

3. 【答案】C　

4. 【答案】B

5. 【答案】D　[解析] 由旋转的性质可知，AC＝CD，但∠A不一定是60°，所以不能证明AC＝AD，所以选项A错误；因为旋转角度不定，所以选项B不能确定；因为不确定AB和BC的数量关系，所以BC和DE的数量关系不能确定，所以选项C不能确定；由旋转的性质可知∠ACD＝∠BCE，AC＝DC，BC＝EC，所以2∠A＝180°－∠ACD，2∠EBC＝180°－∠BCE，从而可证选项D是正确的．

6. 【答案】A　[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，

∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.
∵点A的坐标为(1，)，∴AE＝1，OE＝，
∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝OA′＝1，OF＝，∴A′(，1)．
故选A.

7. 【答案】B　[解析] 如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H.

由题意得，OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，∴B′(－，3)．

8. 【答案】C　[解析] 如图，连接BM.

∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE.
∵△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，
∴∠FAB＝∠MAE，
∴∠FAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠MAE，
即∠FAE＝∠MAB，
∴△FAE≌△MAB(SAS)，
∴EF＝BM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3.
∵DM＝1，
∴CM＝2.
∵在Rt△BCM中，BM＝＝，
∴EF＝.

二、填空题
9. 【答案】20　[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.

10. 【答案】＋　[解析] 如图，连接CE′，

∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 ，
∴AB＝BC＝2 ，BD＝BE＝2.
∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，
∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，
∴∠D′＝∠CE′B＝45°.
过点B作BH⊥CE′于点H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴CE′＝＋.故答案为＋.

11. 【答案】90　[解析] 连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.

12. 【答案】(－2，2)　[解析] △ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A的对应点的坐标为(－2，2)．

13. 【答案】5　[解析] 由勾股定理，得AC＝＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝.又AB′＝AB＝2 ，∴AE＝EB′＝，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.

14. 【答案】90°　[解析] 找到一组对应点A，A′，并将其与旋转中心连接起来，确定旋转角，进而得到旋转角的度数为90°.

15. 【答案】15°或60°　[解析] 分情况讨论：
①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，
∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；
②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.
故答案为15°或60°.

16. 【答案】　[解析] ∵α＋β＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE＝AB＝3，AF＝AC＝2，∴EF＝＝.

17. 【答案】18　[解析] 如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵AB＝AD，∴将△ABC绕点A逆时针旋转90°后点B与点D重合，点C的对应点E落在CD的延长线上，∴AE＝AC＝6，∠CAE＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝AC·AE＝×6×6＝18.


18. 【答案】24＋16 　[解析] 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BP′A，连接PP′.

根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CBA＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP′.
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理，得△APP′是直角三角形，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP′BP＝S△BPP′＋S△AP′P＝BP2＋PP′·AP＝24＋16 .
故答案为24＋16 .

三、解答题
19. 【答案】
解：(1)证明：由题意可知，CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°.
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°.
∵AD＝BF，∴BE＝BF，
∴∠BEF＝×(180°－45°)＝67.5°.

20. 【答案】
解：(1)证明：连接EG，AF，则EG＝AF.
由旋转的性质可得EG＝BD，∴AF＝BD.
又∵AD＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCD.
∴FD＝CD.

(2)分两种情况：①若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边，如图(a)．
∵GC＝GB，
∴∠GCB＝∠GBC，∴∠GCD＝∠GBA.
又CD＝BA，∴△GCD≌△GBA，
∴DG＝AG.
又∵AG＝AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.
②若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边，如图(b)．
同理，△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°.此时α＝300°.
综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.

21. 【答案】
解：(1)证明：如图①，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°.
由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°.
又∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC＝DE＝a.
∵S△BCD＝BC·DE，
∴S△BCD＝a2.

(2)△BCD的面积为a2.
理由：如图②，过点D作CB的垂线，与CB的延长线交于点E，

∴∠BED＝∠ACB＝90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°.
又∵∠A＋∠ABC＝90°.
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC＝DE＝a.
∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2.
(3)如图③，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，

∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a，
∴∠FAB＋∠ABF＝90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴∠ABD＝90°，AB＝BD，
∴∠ABF＋∠DBE＝90°，
∴∠FAB＝∠DBE.
在△AFB和△BED中，

∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF＝DE＝a，
∴S△BCD＝BC·DE＝·a·a＝a2.

22. 【答案】
解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.
∴DG＝DE，CG＝BE.
又∵DE⊥DF，
∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.
∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，
∴BE＋CF＞EF.
②BE2＋CF2＝EF2.
证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.
由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.

(2)EF＝BE＋CF.
证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，
∴将△CDF绕点D逆时针旋转120°得到△BDM，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM＝DF，BM＝CF，∠BDM＝∠CDF，∠DBM＝∠C.
∵∠ABD＋∠C＝180°，
∴∠ABD＋∠DBM＝180°，
∴点A，B，M共线，
∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠BDC－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF.
在△DEM和△DEF中，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋CF.