初中人教版第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积课后测评

这是一份初中人教版第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积课后测评，共13页。试卷主要包含了4 弧长和扇形面积 培优训练等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8道小题）


1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为( )





A．8 B．4


C．4π＋4 D．4π－4





2. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )


A．120° B．180° C．240° D．300°





3. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为( )





A．4π－8 B．2π


C．4π D．8π－8





4. （2020·乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积为（ ）








A． EQ \F(π,4)B． EQ \F(π－EQ \R(,3),2)C． EQ \F(π－EQ \R(,3),4)D． EQ \F(EQ \R(,3),2)π


5. 如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中eq \(CD,\s\up8(︵))，eq \(DE,\s\up8(︵))，eq \(EF,\s\up8(︵))，…的圆心依次按A，B，C，…循环．如果AC＝1，那么曲线CDEF和线段CF围成图的面积为( )





图


A.eq \f(（12＋7\r(,2)）,4)π B.eq \f(（9＋5\r(,2)）,4)π


C.eq \f(（12＋7\r(,2)）π＋2,4) D.eq \f(（9＋5\r(,2)）π＋2,4)





6. 2019·宁波 如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )





A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm





7. 如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )





A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm





8. 2017·衢州 运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是( )





图A.eq \f(25,2)π B．10π


C．24＋4π D．24＋5π





二、填空题（本大题共8道小题）


9. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O中，圆心角，则阴影部分面积为________．








10. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．








11. （2020·吉林）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则的长为_______（结果保留）．








12. 如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．








13. （2020·新疆）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．











14. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．





15. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2eq \r(,2).若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)








16. (2020·潍坊)如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；


的圆心为点B，半径为；


的圆心为点C，半径为；





圆心为点D，半径为；…


的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．








三、解答题（本大题共4道小题）


17. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交半圆O于点E，连接CE.


(1)判断CD与半圆O的位置关系，并证明你的结论；


(2)若E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，半圆O的半径为1，求图中阴影部分的面积．




















18. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m2，高为6 m，外围高为2 m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)




















19. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．


(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.


(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．


(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．


(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；


②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．




















20. 如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，BF.


(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半径为3，


求：①∠CBF的度数；


②eq \(AB,\s\up8(︵))的长；


③阴影部分的面积．


(2)若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．


(3)求证：直线PA为⊙O的切线．


(4)若BC＝6，AD∶FD＝1∶2，求⊙O的半径．




















人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优训练-答案


一、选择题（本大题共8道小题）


1. 【答案】A





2. 【答案】B [解析] 设母线长为R，底面圆的半径为r，则底面圆的周长＝2πr，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则eq \f(nπR,180)＝2πr，∴eq \f(nπR,180)＝πR，∴n＝180.故选B.





3. 【答案】A [解析] 由题意可知∠BOC＝2∠A＝45°×2＝90°.∵S阴影＝S扇形OBC－S△OBC，S扇形OBC＝eq \f(1,4)S圆＝eq \f(1,4)π×42＝4π，S△OBC＝eq \f(1,2)×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.





4. 【答案】B


【解析】先求出AC、AB，再根据S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－ S扇形DAB′求解即可．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2，∴AB＝EQ \R(,AC\S\UP6(2)－BC\S\UP6(2))＝EQ \R(,3)；由旋转得，∴AB＝A′B′＝EQ \R(,3)，BC＝B′C′＝1，∠CAC′＝90°，∴∠CAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－ S扇形DAB′＝ EQ \F(90π22,360)－ EQ \F(1,2)×EQ \R(,3)×1－ EQ \F(90π(EQ \R(,3))2,360)＝ EQ \F(π－EQ \R(,3),2)．








5. 【答案】C [解析] 曲线CDEF和线段CF围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC组成的，所以根据面积公式可得


eq \f(135π×1＋135π×（\r(2)＋1）2＋90π×（\r(2)＋2）2,360)＋eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(（12＋7 \r(2)）π＋2,4).





6. 【答案】B





7. 【答案】B [解析] eq \(AF,\s\up8(︵))的长＝eq \f(1,4)·2π·AB，右侧圆的周长为π·DE.


∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，


∴eq \f(1,4)·2π·AB＝π·DE，∴AB＝2DE，


即AE＝2DE.


∵AE＋DE＝AD＝6，∴AB＝4.故选B.





8. 【答案】A [解析] 如图作直径CG，连接OD，OE，OF，DG.





∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°，则DG＝eq \r(CG2－CD2)＝8.


又∵EF＝8，∴DG＝EF，


∴eq \(DG,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))，


∴S扇形ODG＝S扇形OEF.


∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，


∴S阴影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OCD＋S扇形ODG＝S半圆＝eq \f(1,2)π×52＝eq \f(25,2)π.





二、填空题（本大题共8道小题）


9. 【答案】


【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．


阴影部分面积为，





故答案为：．


10. 【答案】3π 【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120° ，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S扇形OAB＝eq \f(120×π×32,360)＝3π.





11. 【答案】


【解析】由题意知：，，


∴ABC和ADC是等腰三角形，AC⊥BD．


∵，


∴OD=，OA=


∴OB=．





∵∠ABD=，


∴∠EBF=，





=


．


故答案为．


12. 【答案】2π [解析] 设扇形的半径是R，


则eq \f(60·π·R2,360)＝6π，解得R＝6(负值已舍去)．


设扇形的弧长是l，则eq \f(1,2)lR＝6π，即3l＝6π，


解得l＝2π.故答案为2π.





13. 【答案】








【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥AC于点D．∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，所以△OAB≌△OAC，所以∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×60°＝30°．在Rt△OAD中，因为∠OAC＝30°，OA＝2，所以OD＝1，AD＝．因为OD⊥AC，所以AC＝2AD＝．所以＝×π×＝π．设此圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝π，解得r＝，因此本题答案为．





14. 【答案】12π





15. 【答案】8 eq \r(2)π [解析] 过点C作CD⊥AB于点D.


在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 eq \r(2)，


∴AB＝eq \r(2)AC＝4，∴CD＝2.


以CD为半径的圆的周长是4π.


故Rt△ABC绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积是2×eq \f(1,2)×4π×2 eq \r(2)＝8 eq \r(2)π.





16. 【答案】【解析】本题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．


由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，


，，……，


，，


故的半径为，


的弧长=．


三、解答题（本大题共4道小题）


17. 【答案】


解：(1)CD与半圆O相切．


证明：∵AC平分∠DAB，


∴∠DAC＝∠BAC.


∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，


∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.


∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.


又∵OC为半圆O的半径，


∴CD与半圆O相切．


(2)连接OE.


∵AC平分∠DAB，


∴∠DAC＝∠BAC，∴eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵)).


又∵E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，


∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，S弓形AE＝S弓形CE，


∴∠BOC＝∠EOC＝60°.


又∵OE＝OC，∴△OEC是等边三角形，


∴∠ECO＝60°，CE＝OC＝1.


由(1)得OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，


∴∠DCE＝30°，


∴DE＝eq \f(1,2)，DC＝eq \f(\r(3),2)，


∴S阴影＝S△DEC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),8).





18. 【答案】


解：∵蒙古包的底面积为9π m2，高为6 m，外围(圆柱)高为2 m，


∴底面圆的半径为3 m，圆锥的高为6－2＝4(m)，


∴圆锥的母线长为5 m，


∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m2)，


圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，


圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m2)．


故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m2)．





19. 【答案】


eq \f(13π,4)解：(1)如图





(2)eq \f(2,3)πa eq \f(10,3)πa 10πa


(3)eq \f(15πa,2)


(4)①eq \f(30,n)πa ②eq \f(m（m＋1）,n)πa


20. 【答案】


解：(1)①∵∠AOF＝120°，


∴∠ABF＝60°.


∵AC是⊙O的直径，


∴∠ABC＝90°，


∴∠CBF＝30°.


②连接OB.


∵∠AOF＝120°，


∴∠AOE＝60°.


∵EF⊥AB于点D，∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，


∴∠AOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，


∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \f(120π×3,180)＝2π.


③∵∠AOE＝60°，EF⊥AB于点D，


∴∠OAB＝30°.


∵AC＝6，∴BC＝3，∴AB＝3 eq \r(3).


∵OA＝3，∴OD＝eq \f(3,2)，


∴S△AOB＝eq \f(1,2)AB·OD＝eq \f(1,2)×3 eq \r(3)×eq \f(3,2)＝eq \f(9,4) eq \r(3).


∵S扇形OAB＝eq \f(120,360)π×32＝3π，


∴阴影部分的面积＝S扇形OAB－S△AOB＝3π－eq \f(9,4) eq \r(3).


(2)∵EF⊥AB于点D，∴AD＝BD＝4.


设OA＝x，则OD＝OE－DE＝x－2.


在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，


∴⊙O的半径为5.


(3)证明：连接OB.


∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.


∵EF⊥AB于点D，∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，


∴∠AOP＝∠BOP.


又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，


∴∠PAO＝∠PBO＝90°，


∴直线PA为⊙O的切线．


(4)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，


∴OD＝eq \f(1,2)BC＝3.


设AD＝y.∵AD∶FD＝1∶2，


∴FD＝2y，∴OA＝OF＝FD－OD＝2y－3.


在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即(2y－3)2＝y2＋32.


解得y1＝4，y2＝0(不合题意，舍去)．


∴OA＝2y－3＝5，即⊙O的半径为5.