初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转精品综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转精品综合训练题，共14页。试卷主要包含了1 图形的旋转 培优训练，故选D等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10道小题）


1. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )


A．平行四边形 B．矩形


C．菱形 D．正方形





2. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )


A．(－2，3) B．(－3，2)


C．(2，－3) D．(3，－2)





3. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有( )





A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





4. 如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )





A．(－4，1) B．(－1，2)


C．(4，－1) D．(1，－2)





5. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝eq \r(3)，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )





A．(eq \r(3)，－1) B．(1，－eq \r(3))


C．(2，0) D．(eq \r(3)，0)





6. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )





图7－ZT－1


A．(－1，2＋eq \r(3)) B．(－eq \r(3)，3)


C．(－eq \r(3)，2＋eq \r(3)) D．(－3，eq \r(3))





7. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )





A．(－1，2＋eq \r(3)) B．(－eq \r(3)，3)


C．(－eq \r(3)，2＋eq \r(3)) D．(－3，eq \r(3))





8. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )





A．4 B．2 eq \r(5)


C．6 D．2 eq \r(6)





9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，eq \r(3))，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )


A．(eq \r(3)，1) B．(eq \r(3)，－1)C．(2，1) D．(0，2)





10. 2019·河南 如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )





A．(10，3) B．(－3，10)C．(10，－3) D．(3，－10)





二、填空题（本大题共7道小题）


11. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 eq \r(2).将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．








12. 在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________．








13. 一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．





14. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.








15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________ cm.








16. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．








17. 如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－eq \f(\r(3),3)x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－eq \f(\r(3),3)x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．








三、解答题（本大题共5道小题）


18. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′.


(1)求∠DAD′的度数；


(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.




















19. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.


(1)在旋转过程中，


①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；


②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．


(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．




















20. 已知：如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，F，G，H分别为DE，BE，CD的中点．


(1)当△ADE绕点A旋转时，如图①，△FGH的形状为________，并说明理由．


(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图②，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长．


(3)在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b(a＞b＞0)，则△FGH的周长是否存在最大值和最小值？若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．




















21. 如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝eq \r(3)，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．




















22. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.


(1)如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；


(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．




















人教版 九年级 23.1 图形的旋转 培优训练-答案


一、选择题（本大题共10道小题）


1. 【答案】D [解析] 平行四边形绕其对角线的交点旋转能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故A错误；矩形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故B错误；菱形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故C错误；正方形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是90°.故选D.





2. 【答案】A [解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.





3. 【答案】D





4. 【答案】D





5. 【答案】A





6. 【答案】B [解析] 如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H.





由题意得，OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，


∴∠A′B′H＝30°，


∴AH′＝eq \f(1,2)A′B′＝1，B′H＝eq \r(3)，


∴OH＝3，∴B′(－eq \r(3)，3)．





7. 【答案】B





8. 【答案】D [解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2 eq \r(5).


∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝2 eq \r(6).故选D.





9. 【答案】A [解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，





∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.


∵点A的坐标为(1，eq \r(3))，∴AE＝1，OE＝eq \r(3)，


∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝eq \f(1,2)OA′＝1，OF＝eq \r(3)，∴A′(eq \r(3)，1)．


故选A.





10. 【答案】D





二、填空题（本大题共7道小题）


11. 【答案】eq \r(2)＋eq \r(6) [解析] 如图，连接CE′，





∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 eq \r(2)，


∴AB＝BC＝2 eq \r(2)，BD＝BE＝2.


∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，


∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，


∠D′BD＝∠ABE′，


∴∠ABD′＝∠CBE′，


∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，


∴∠D′＝∠CE′B＝45°.


过点B作BH⊥CE′于点H，


在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝eq \f(\r(2),2)BE′＝eq \r(2)，


在Rt△BCH中，CH＝eq \r(BC2－BH2)＝eq \r(6)，


∴CE′＝eq \r(2)＋eq \r(6).故答案为eq \r(2)＋eq \r(6).





12. 【答案】90° [解析] 找到一组对应点A，A′，并将其与旋转中心连接起来，确定旋转角，进而得到旋转角的度数为90°.





13. 【答案】15°或60° [解析] 分情况讨论：


①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，


∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；


②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.


故答案为15°或60°.





14. 【答案】eq \r(13) [解析] ∵α＋β＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE＝AB＝3，AF＝AC＝2，∴EF＝eq \r(AE2＋AF2)＝eq \r(13).





15. 【答案】(10－2 eq \r(6)) [解析] 如图，过点A作AG⊥DE于点G.由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，





∴∠AED＝∠ADG＝45°，


∴∠AFD＝∠AED＋∠CAE＝60°.


在Rt△ADG中，AG＝DG＝eq \f(AD,\r(2))＝3 eq \r(2)(cm)．


在Rt△AFG中，GF＝eq \f(AG,\r(3))＝eq \r(6)(cm)，AF＝2FG＝2 eq \r(6)(cm)，


∴CF＝AC－AF＝(10－2 eq \r(6))cm.





16. 【答案】①②③





17. 【答案】9＋3 eq \r(3) [解析] 将y＝1代入y＝－eq \f(\r(3),3)x，解得x＝－eq \r(3).


∴AB＝eq \r(3)，OA＝2，且直线y＝－eq \f(\r(3),3)x与x轴所夹的锐角是30°.


由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋eq \r(3)＋1＝3＋eq \r(3).


∴OO12＝6×(3＋eq \r(3))＝18＋6 eq \r(3).


∴点O12的纵坐标＝eq \f(1,2)OO12＝9＋3 eq \r(3).





三、解答题（本大题共5道小题）


18. 【答案】


解：(1)∵将△ABD绕点A逆时针旋转，得到△ACD′，


∴∠DAD′＝∠BAC.


∵∠BAC＝90°，∴∠DAD′＝90°.


(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′，


∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°.


∵∠DAE＝45°，


∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°，


∴∠D′AE＝∠DAE.


在△AED与△AED′中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AE，,∠DAE＝∠D′AE，,AD＝AD′，))


∴△AED≌△AED′(SAS)，


∴DE＝D′E.





19. 【答案】


解：(1)①当A，D，M三点在同一直线上时，AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.


②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．


当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，


∴AM＝20 eq \r(2).


当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，


∴AM＝10 eq \r(10).


综上所述，满足条件的AM的长为20 eq \r(2)或10 eq \r(10).


(2)如图，连接CD1，





由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，


∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 eq \r(2).


∵∠AD2C＝135°，


∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，


∴CD1＝eq \r(（30 \r(2)）2＋602)＝30 eq \r(6).


∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，


∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，


∴∠BAD2＝∠CAD1.


又∵AB＝AC，AD2＝AD1，


∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，


∴BD2＝CD1＝30 eq \r(6).





20. 【答案】


解：(1)△FGH是等边三角形．理由如下：


如图①，连接BD，CE，延长BD交CE于点M，设BM交FH于点O.





∵△ABC和△ADE均为等边三角形，


∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，


∴∠BAD＝∠CAE，


∴△BAD≌△CAE，


∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.


∵EG＝GB，EF＝FD，


∴FG＝eq \f(1,2)BD，FG∥BD.


∵DF＝EF，DH＝HC，


∴FH＝eq \f(1,2)CE，FH∥CE，


∴FG＝FH.


∵∠ADB＋∠ADM＝180°，


∴∠AEC＋∠ADM＝180°，


∴∠DME＋∠DAE＝180°.


∵∠DAE＝60°.


∴∠DME＝120°，∴∠BMC＝60°，


∴∠GFH＝∠BOH＝∠BMC＝60°，


∴△FGH是等边三角形．





(2)如图②，连接AF，EC.


易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE＝2，EF＝DF＝1，


∴AF＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).


在Rt△ABF中，BF＝eq \r(AB2－AF2)＝eq \r(6).


同(1)可得FH＝eq \f(1,2)CE，BD＝CE，


∴CE＝BD＝BF－DF＝eq \r(6)－1，


∴FH＝eq \f(1,2)CE＝eq \f(\r(6)－1,2).


(3)存在．


由(1)可知，△FGH是等边三角形，GF＝eq \f(1,2)BD，∴△FGH的周长＝3GF＝eq \f(3,2)BD.


∵AB＝a，AD＝b，AB－AD≤BD≤AB＋AD，


∴BD的最小值为a－b，最大值为a＋b，


∴△FGH的周长的最大值为eq \f(3,2)(a＋b)，最小值为eq \f(3,2)(a－b)．


21. 【答案】


解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC＝1，





∴PP′＝PB＝eq \r(3)，∠BPP′＝∠BP′P＝60°.


在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋(eq \r(3))2＝22＝PA2，


∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°，


∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°，


∴∠BPC＝∠BP′A＝150°.


在Rt△APP′中，∵PA＝2，AP′＝1，


∴∠APP′＝30°.


又∵∠BPP′＝60°，


∴∠APB＝90°，


∴在Rt△ABP中，AB＝eq \r(PA2＋PB2)＝eq \r(22＋（\r(3)）2)＝eq \r(7)，


即等边三角形ABC的边长为eq \r(7).





22. 【答案】


解：(1)证明：连接EG，AF，则EG＝AF.


由旋转的性质可得EG＝BD，∴AF＝BD.


又∵AD＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCD.


∴FD＝CD.





(2)分两种情况：①若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边，如图(a)．


∵GC＝GB，


∴∠GCB＝∠GBC，∴∠GCD＝∠GBA.


又CD＝BA，∴△GCD≌△GBA，


∴DG＝AG.


又∵AG＝AD，


∴△ADG是等边三角形，


∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.


②若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边，如图(b)．


同理，△ADG是等边三角形，


∴∠DAG＝60°.此时α＝300°.


综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.