数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用习题

这是一份数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用习题，共13页。试卷主要包含了2 解直角三角形 培优训练，6 B等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8道小题）


1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，AC＝6 cm.则BC的长度为( )


A. 6 cm B. 7 cm


C. 8 cm D. 9 cm





2. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )


A. 斜坡AB的坡度是10° B. 斜坡AB的坡度是tan10°


C. AC＝1.2tan10° 米 D. AB＝eq \f(1.2,cs10°) 米








3. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶eq \r(3)，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)( )


A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4








4. (2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是





A．30nmileB．60nmile


C．120nmileD．(30+30)nmile





5. 如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是eq \(AB,\s\up8(︵))上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是( )


A. (sinα，sinα) B. (csα，csα)


C. (csα，sinα) D. (sinα，csα)








6. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于





A．asinx+bsinxB．acsx+bcsx


C．asinx+bcsxD．acsx+bsinx





7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )





A. eq \f(1,1－sinα) B. eq \f(1,1＋sinα)


C. eq \f(1,1－csα) D. eq \f(1,1＋csα)





8. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为





A．米B．米


C．米D．米





二、填空题（本大题共8道小题）


9. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．








10. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)








11. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)








12. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1 m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝eq \f(4,25)，tan8°＝eq \f(1,7)，sin10°＝eq \f(9,10)，tan10°＝eq \f(5,28))








13. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__________米(结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)．








14. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73)








15. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__________米．(精确到1米，参考数据：1.414，1.732)








16. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．








三、解答题（本大题共4道小题）


17. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶eq \r(3).


(1)求新坡面的坡角α；


(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．




















18. (2019·本溪)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题．


(1)求AC的长度(结果保留根号)；


(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．




















19. (2019•江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．


(1)求坐垫E到地面的距离；


(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．


(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05)




















20. (2019•山东潍坊)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．(结果保留根号)




















人教版 九年级数学 28.2 解直角三角形 培优训练-答案


一、选择题（本大题共8道小题）


1. 【答案】C 【解析】∵sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，∴设BC＝4a，则AB＝5a，AC＝eq \r(（5a）2－（4a）2)＝3a，∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8 cm.





2. 【答案】 B 【解析】∵斜坡AB的坡角是10°，∴选项A是错误的；∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴选项B是正确的；∵AC＝eq \f(1.2,tan10°) 米，∴选项C是错误的；∵AB＝eq \f(1.2,sin10°) 米，∴选项D是错误的．





3. 【答案】D 【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EF⊥AB于点F，过点B作BH⊥ED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝eq \f(BG,CG)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6eq \r(3)，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6eq \r(3)＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6eq \r(3)≈39.4(米)．








4. 【答案】D


【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．


在Rt△ACD中，cs∠ACD=，∴CD=AC•cs∠ACD=60×=30．


在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．


所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+30)nmile．故选D．








5. 【答案】C 【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cs∠POB＝1×csα＝csα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(csα，sinα)．








6. 【答案】D


【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，


∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•csx+b•sinx，


故选D．








7. 【答案】A 【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝eq \f(PC,PB′)，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝eq \f(1,1－sinα).





8. 【答案】B


【解析】如图，作AD⊥BC于点D，则BD0.3，


∵csα，∴csα，解得AB米，


故选B．








二、填空题（本大题共8道小题）


9. 【答案】14.1 【解析】如解图 ，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cs∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．








10. 【答案】2.9 【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4eq \r(3) 米，故CD＝CM－DM＝4eq \r(3)－4≈2.9米．





11. 【答案】10eq \r(3)＋1 【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10 m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×eq \r(3)＝10eq \r(3) m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10eq \r(3)＋1)m.











12. 【答案】1.4 【解析】如解图，作AD⊥MN于点D，由题意得，AD＝1 m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝eq \f(AD,tan8°)＝eq \f(1,\f(1,7))＝7 m，CD＝eq \f(AD,tan10°)＝eq \f(1,\f(5,28))＝eq \f(28,5)＝5.6 m，∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4 m.








13. 【答案】1.5


【解析】∵sinα，∴AD=AC•sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5．





14. 【答案】208 【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝30eq \r(3)，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝90eq \r(3)，BC＝BD＋CD＝30eq \r(3)＋90eq \r(3)＝120eq \r(3)≈208(米)．





15. 【答案】567


【解析】如图，设线段AB交y轴于C，


在直角△OAC中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC．


∵OA=400米，∴OC=OA•cs45°=400200(米)．


∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC=200米，


∴400567(米)


故答案为：567．








16. 【答案】3或3eq \r(3) 或3eq \r(7) 【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3)；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×eq \r(3)＝3eq \r(3)；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝eq \r(62＋（3\r(3)）2)＝3eq \r(7).综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3eq \r(3) 或3eq \r(7).








三、解答题（本大题共4道小题）


17. 【答案】


解：(1)∵新坡面AC的坡度为1∶eq \r(3)，


∴tanα＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，


∴α＝30°.(2分)


答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)


(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．


理由如下：


如解图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，


∵坡面BC的坡度为1∶1，


∴BD＝CD＝6米，(4分)





∵新坡面AC的坡度为1∶eq \r(3)，


∴CD∶AD＝1∶eq \r(3)，


∴AD＝6eq \r(3)米，(6分)


∴AB＝AD－BD＝(6eq \r(3)－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．


答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．(7分)





18. 【答案】


(1)如图，过F作FH⊥DE于H，





∴∠FHC=∠FHD=90°，


∵∠FDC=30°，DF=30，


∴FH=DF=15，DH=DF=15，


∵∠FCH=45°，∴CH=FH=15，


∴CD=CH+DH=15+15，


∵CE：CD=1：3，


∴DE=CD=20+20，


∵AB=BC=DE，∴AC=(40+40)cm；


(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，


∵∠ACG=45°，∴AG=AC=20+20，


答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为(20+20)cm．





19. 【答案】


(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，





由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，


∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，


则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；


(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，





由题意知E′H=80×0.8=64，


则E′C==≈71，1，


∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．





20. 【答案】


∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1：，


∴tan∠ABE=，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=100，


∵AC=20，∴CE=80，


∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1：4，


∴，即，解得ED=320，


∴CD=米，


答：斜坡CD的长是米．