2020-2021学年第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用随堂练习题

三角函数-解直角三角形练习

一．解答题（共10小题）

1．如图，小明在楼AB前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为31°．已知C处距地面BD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：tan42°≈0.90，tan48°≈1.11，tan31°≈0.60）．

2．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝30km，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路

（Ⅰ）求改直的公路AB的长；

（Ⅱ）问公路改直后比原来缩短了多少km？

（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈047，取1.414．）（结果保留小数点后一位）

3．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上，在救助船B的西南方向上，船B在船A正北方向150海里处．

（Ⅰ）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；

（Ⅱ）若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75，结果保留整数）

4．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°

（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；

（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？

（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）

5．一轮船以15海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔在北偏东42°方向，航行2小时到达B处，测得灯塔C在南偏东60°方向，求B处与灯塔C的距离BC的长度（结果保留1位小数）

参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73．

6．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，隧道高6.5m（即BC＝6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）

7．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】

8．随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到C地开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东58°方向行驶8km至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（结果取整数）．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）

9．某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝89km，∠A＝58°，∠B＝37°，求开通隧道后的路程AB大约是多少km？（结果精确到1km）

参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60

10．如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市，CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直．马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．求CD与AB之间的距离．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

三角函数练习

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．如图，小明在楼AB前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为31°．已知C处距地面BD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：tan42°≈0.90，tan48°≈1.11，tan31°≈0.60）．

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△AEC、△CBD，通过解这两个直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E．

依题意得：∠ACE＝42°，∠CBD＝31°，CD＝12m．

可得四边形CDBE是矩形．

∴BE＝DC，CE＝DB．

∵在直角△CBD中，tan∠CBD＝，

∴CE＝DB＝．

∵在直角△ACE中，tan∠ACE＝．

∴AE＝CE•tan42°．

∴AE＝•tan42°≈＝18（米）．

∴AB＝AE+BE＝30（米）．

答：楼AB的高度约为30米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．

2．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝30km，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路

（Ⅰ）求改直的公路AB的长；

（Ⅱ）问公路改直后比原来缩短了多少km？

（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈047，取1.414．）（结果保留小数点后一位）

【分析】（I）过点C作CD⊥AB与H，根据AC＝30km，∠CAB＝25°，求出CH、AH，根据∠CBA＝45°，求出BH、BC，最后根据AB＝AH+BH列式计算即可，

（Ⅱ）首先求出BC得长度，进而得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．

【解答】解：（I）过点C作CH⊥AB于点H，

在Rt△ACH中，AC＝30，∠CAB＝25°，

∴CH＝AC•sin∠CAB＝AC•sin25°≈30×0.42；

AH＝AC•cos∠CAB＝AC•cos25°≈30×0.91；

又在Rt△BCH中，∠CBA＝45，

∴BH＝CH，

∴AB＝AH+BH≈30×0.42+30×0.91＝12.6+27.3≈39.9；

答：改直后的公路AB的长为399km；

（Ⅱ）在Rt△BCH中，sin∠CBH＝，BC＝＝CH，

∴BC＝CH≈1.414×30×0.42＝17.8164≈17.8，

∴AC+BC﹣AB＝30+17.8﹣39.9＝7.9（km）

答：改直后的路程缩短了7.9km．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角函数、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形，求出有关线段的长．

3．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上，在救助船B的西南方向上，船B在船A正北方向150海里处．

（Ⅰ）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；

（Ⅱ）若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75，结果保留整数）

【分析】（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；

（Ⅱ）分别求出PA、PB的长，根据两船航行速度，计算出两艘船到达P点时各自所需要的时间，即可作出判断．

【解答】解：（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，

由题意得，∠BPE＝45°，∠EAP＝36.8°，

设PE为x海里，则BE＝PE＝x海里，

∵AB＝150海里，

∴AE＝（150﹣x）海里，

在Rt△APE中，，

即：

解得：x≈64，

∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为64海里；

（Ⅱ）在Rt△PBE中，PE＝64海里，∠EAP＝36.8°，

则AP＝＝64÷0.6≈107海里，

A船需要的时间为：107÷40＝2.68小时，

在Rt△BAE中，，

∴BP＝PE＝64×≈91海里，

∴B船需要的时间为：91÷30≈3.03小时，

∵2.68＜3.03，

∴A船先到达．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．

4．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°

（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；

（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？

（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）

【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR＝AR•cos∠ARL求出答案即可；

（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL＝LR•tan∠BRL，再利用AL＝ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．

【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝42.4°，

由cos∠ARL＝，得LR＝AR•cos∠ARL＝6×cos42.4°≈4.44（km）．

答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；

（2）在Rt△BLR中，LR＝4.44km，∠BRL＝45.5°，

由tan∠BRL＝，得BL＝LR•tan∠BRL＝4.44×tan45.5°≈4.44×1.02＝4.5288（km），

又∵sin∠ARL＝，得AL＝ARsin∠ARL＝6×sin42.4°≈4.02（km），

∴AB＝BL﹣AL＝4.5288﹣4.02＝0.5088（km），

这枚火箭从A到B的平均速度：0.5088÷1＝0.5088≈0.51（km/s），

答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．

5．一轮船以15海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔在北偏东42°方向，航行2小时到达B处，测得灯塔C在南偏东60°方向，求B处与灯塔C的距离BC的长度（结果保留1位小数）

参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73．

【分析】过C作CH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：根据题意得，∠BAC＝42°，∠ABC＝60°，AB＝15×2＝30，

过C作CH⊥AB于H，

设BH＝x，

在Rt△BCH中，∠CBH＝60°，cos∠CBH＝，tan，

即cos60°＝＝，tan60°＝＝，

∴BC＝2x，CH＝x，

在Rt△ACH中，∠CAH＝42°，tan∠CAH＝，即tan42°＝＝0.90，

解得：x≈10.27，

∴BC＝2x≈20.5，

答：B处与灯塔C的距离BC的长度20.5海里．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

6．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，隧道高6.5m（即BC＝6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）

【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD＝BD﹣BC计算即可；

【解答】解：如图作AE⊥BD于E．

在Rt△AEB中，∵∠EAB＝30°，AB＝10m，

∴BE＝AB＝5（m），AE＝5（m），

在Rt△ADE中，DE＝AE•tan42°＝7.79（m），

∴BD＝DE+BE＝12.79（m），

∴CD＝BD﹣BC＝12.79﹣6.5≈6.3（m），

答：标语牌CD的长为6.3m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线而构造直角三角形解决问题．

7．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】

【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．

【解答】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，

由题意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，

在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，

∴DB＝x，

在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，

∴tan∠ACD＝，

∴＝，

解得，x≈233．

答：热气球离地面的高度约为233米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．

8．随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到C地开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东58°方向行驶8km至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（结果取整数）．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）

【分析】如图，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，由题意得∠BAD＝58°，∠BCD＝37°，AB＝8，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，

由题意得∠BAD＝58°，∠BCD＝37°，AB＝8，

在Rt△ABD中，sin58°＝，

∴，

∴BD＝8 sin58°，

在Rt△BCD中，sin37°＝，

∴sin37°＝，

∴BC＝，

∴BC≈11．

答：B、C两地的距离约为11千米．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．

9．某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝89km，∠A＝58°，∠B＝37°，求开通隧道后的路程AB大约是多少km？（结果精确到1km）

参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60

【分析】过点C作AB的垂线CD，垂足为D，解直角△CBD，求出BD、CD，再解直角△ACD，求出AD，代入AB＝AD+DB即可．

【解答】解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，则∠ADC＝∠BDC＝90°．

由题意，可知∠A＝58°，∠B＝37°．

在直角△CBD中，BD＝BC•cosB≈89×0.80＝71.2，

CD＝BC•sinB≈89×0.60＝53.4．

在直角△ACD中，tanA＝，

∴AD＝≈≈33.4，

∴AB＝AD+DB≈33.4+71.2≈105（km）．

答：开通隧道后的路程AB大约是105km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

10．如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市，CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直．马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．求CD与AB之间的距离．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

【分析】设CD与AB之间的距离为x米，则在Rt△BCF和Rt△ADE中分别用x表示BF，AE，又AB＝AE+EF+FB，代入即可求得x的值．

【解答】解：设CD与AB之间的距离为x米，

则在Rt△BCF和Rt△ADE中，

∵＝tan37°，＝tan67°，

∴BF＝≈x，AE＝≈x，

又∵AB＝62，CD＝20，

∴x+x+20＝62，

解得：x＝24，

答：CD与AB之间的距离约为24米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是在直角三角形中运用解直角三角形的知识求出各边的长度．