人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀学案，共13页。

★★★★必备知识★★★★


1．椭圆的定义


平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．


集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．


(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；


(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；


(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．


2．椭圆的标准方程和几何性质


离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.


★★★★常用结论★★★★


1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.


(1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；


(2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；


(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．


2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中


(1)当P为短轴端点时，θ最大．


(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.


(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．


3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.


4．AB为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则


(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；


(2)直线AB的斜率kAB＝－.


★★★★基础达标★★★★


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)


(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )


(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )


(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )


(4) (a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )


答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×


二、选填题


1．椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )


A．12 B．16


C．20D．24


解析：选C △F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.


∵在椭圆中，a2＝25，即a＝5，


∴△F1AB的周长为4a＝20.故选C.


2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )


A.B.


C. D.


解析：选D 不妨设椭圆C的方程为 (a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．


即，∴e＝.故选D.


3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为( )


A. B.


C. D.


解析：选D 由题意可设椭圆C的标准方程为 (a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，


所以2a＝|PF1|＋|PF2|


＝ .


所以a＝2，又c＝1，


所以b2＝a2－c2＝3.


故椭圆C的标准方程为.故选D.


4．已知椭圆 (m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.


解析：依题意有25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3.


答案：3


5．若方程表示椭圆，则k的取值范围是______________．


解析：由已知得


解得3＜k＜5且k≠4.


答案：(3,4)∪(4,5)


★★★★典型例题★★★★


eq \a\vs4\al(考点一 椭圆的定义及其应用)


[典例精析]


(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )


A. B.


C. D.


(2)已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.


(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．


[解析] (1)设圆M的半径为r，


则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，


所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，


故所求的轨迹方程为.


(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则


∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，


∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.


(3)椭圆方程化为，


设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，


∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，


又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，


∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.


[答案] (1)D (2)3 (3)6＋ 6－


eq \a\vs4\al([变式发散])


1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．


解析：由原题得b2＝a2－c2＝9，


又2a＋2c＝18，


所以a－c＝1，解得a＝5，


故椭圆方程为.


答案：


2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60° ”，“＝3”，则b的值为________．


解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60° ，


所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60° ＝|F1F2|2，


即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，


所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，


所以|PF1||PF2|＝b2，


又因为＝|PF1||PF2|sin 60° ＝×b2×＝b2＝3，


所以b＝3.


答案：3


[解题技法]


椭圆定义的应用技巧


椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．


[过关训练]


1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )


A．椭圆B.双曲线


C．抛物线D．圆


解析：选A 连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.


所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.


又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．


2．(2018·惠州模拟)设F1，F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )


A.B.


C. D.


解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.


3．(2019·合肥质量检测)如图，椭圆 (a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )


A．20B.10


C．2D．4


解析：选D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得得N，∴H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.


eq \a\vs4\al(考点二 椭圆的标准方程)


[典例精析]


(1)(2019·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )


A. B.


C. D.


(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．


(3)过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．


[解析] (1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，


由勾股定理，得|PF′|＝＝8，


由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，


从而a＝7，a2＝49，


于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，


∴椭圆C的方程为，故选C.


(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．


由解得m＝，n＝.


所以椭圆方程为.


(3)法一：定义法


椭圆的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.


由椭圆的定义，知2a＝，


解得a＝2.


由c2＝a2－b2可得b2＝4，


所以所求椭圆的标准方程为.


法二：待定系数法


∵所求椭圆与椭圆的焦点相同，


∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.


设它的标准方程为 (a＞b＞0)．


∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①


又点(，－)在所求椭圆上，即.②


由①②得b2＝4，a2＝20，


∴所求椭圆的标准方程为.


[答案] (1)C (2) (3)


[解题技法]


根据条件求椭圆方程的2种方法





eq \a\vs4\al(考点三 椭圆的几何性质)


[考法全析]


考法(一) 求椭圆的离心率的值(范围)


[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )


A. B.


C. D.


(2)(2019·福州模拟)过椭圆C： (a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )


A.B.


C. D.


[解析] (1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝


(2)由题设知，直线l：，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.


[答案] (1)D (2)A


考法(二) 与椭圆有关的范围(最值)问题


[例2] P为椭圆上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是( )


A．[0,15]B.[5,15]


C．[5,21]D．(5,21)


[解析] 由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为＝()·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以的取值范围是[5,21]．


[答案] C


[规律探求]


标准方程
(a＞b＞0)
(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]， y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)


B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)


B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法
待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可
看个性
考法(一)求椭圆离心率的值(范围)，其方法为


(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．


(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．


考法(二)与椭圆有关的最值(范围)问题


与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系


[口诀记忆]


离心率，不用愁，


寻找等式消b求；


几何图形寻踪迹，


等式藏在图形中．
找共性
1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式―→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．


2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形