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    数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步达标检测题

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    这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步达标检测题,共24页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    直线与椭圆的位置关系(专题训练)

    一、单选题

    1已知椭圆以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(  )

    A B C-2 D2

    【答案】A

    【解析】设以为中点的弦的两个端点分别为

    所以由中点坐标公式可得

    两点坐标代入椭圆方程得

    两式相减可得

    所以,即所求的直线的斜率为.故选A.

    2椭圆与直线交于两点,过原点与线段中点的直线的斜率为,则的值为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】,由题知:

    .

    设线段中点为,则.

    代入得到.

    因为,故.故选:B

    3已知椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于两点,且,则椭圆的离心率为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】,消可得得,解得,分别代入

    代入式并整理得

    两边同除以并整理得,解得

    ,故选:

    4已知椭圆,直线,若椭圆C上存在两点关于直线l对称,则m的取值范围是(    )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】是椭圆C上关于l对称的两点,AB的中点为

    .

    又因为AB在椭圆C上,所以

    两式相减可得,即.

    又点Ml上,故,解得.

    因为点M在椭圆C内部,所以,解得.

    故选:C

    5已知是椭圆的左焦点,过且与轴垂直的直线与交于两点,点关于原点对称,则的面积为(   

    A2 B3 C6 D12

    【答案】B

    【解析】因为椭圆

    所以

    因为过且与轴垂直的直线与交于两点,

    所以

    因为点关于原点对称,

    所以

    所以,点到直线的距离为2

    所以的面积为.故选:B

    6已知F1F2是椭圆的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于AB两点,且满足则该椭圆的离心率是(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】,则

    由椭圆的定义知

    为椭圆的上顶点,设,又

    则直线,直线方程代入椭圆方程中得:

    ,解得

    ,化简得

    .

    故选:B

    7已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是(   

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】双曲线的方程为

    所以,曲线的图象与曲线的图象必相交于点

    为了使曲线与曲线恰好有两个公共点,

    代入方程,整理可得.

    ①当时,满足题意;

    ②当时,由于曲线与曲线恰好有两个公共点,

    ,且是方程的根,

    ,解得.

    所以,当时,.

    根据对称性可知,当时,可求得.

    因此,实数的取值范围是.故选:C.

    8已知平面内的一个动点P到直线lx的距离与到定点F0)的距离之比为,点,设动点P的轨迹为曲线C,过原点O且斜率为kk0)的直线l与曲线C交于MN两点,则MAN面积的最大值为(   

    A B2 C D1

    【答案】A

    【解析】设动点l的距离为d, 由题意得,所以

    化简整理得曲线C的方程为

    若直线l存在斜率,设其方程为,设直线l与曲线C的交点

    代入曲线中得

    所以

    又点A到直线l的距离,故的面积

    所以

    1)当时,,则

    2)当时,,则

    3)当时,(当且仅当,即取等号),则

    若直线l不存在斜率, MN=2. 于是的面积

    综上得:的面积的最大值为.故选:A.

    9椭圆的焦点为椭圆上的一点,已知,则的面积为(   

    A25 B20 C9 D8

    【答案】C

    【解析】根据椭圆的定义,  ①,

    ,由勾股定理得,  ②,

    将①平方再减去②得:.

    故选:C.

    10直线交椭圆两点,若,则的值为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】解法一:由椭圆,则顶点为

    而直线也过

    所以为直线与椭圆的一个交点,设

    =

    解得:

    所以(不合,舍去),

    代入椭圆方程得:,故.

    故选:B.

    解法二:由

    所以

    所以=

    因为,所以,故.故选:B.

    11已知椭圆C的焦点为P是椭圆C上一点,若椭圆C的离心率为,且的面积为,则椭圆C的方程为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】椭圆的焦点为是椭圆上一点.若椭圆的离心率为,且,△的面积为

    可得:,解得

    所以椭圆方程为:.故选:

    12以过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与点的位置关系是(    ).

    A在圆内 B在圆外 C在圆上 D与圆的关系不确定

    【答案】A

    【解析】时,,解得,故,故

    圆心为,故点在圆内.故选:A.

    二、填空题

    13已知椭圆的焦点分别为,两条平行线交椭圆于四点,若以为顶点的四边形面积为,则椭圆的离心率为________.

    【答案】

    【解析】,联立直线与椭圆的方程:,整理可得:

    所以

    直线间的距离

    所以平行四边形的面积,整理可得:,即

    解得:

    由椭圆的性质可得,离心率

    故答案为:

    14已知P为椭圆C上一个动点,F1F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆CP点处的切线距离为d,若,则d__________.

    【答案】

    【解析】,则

    不妨设在第一象限,则

    故以为圆心以为半径的圆为:,①

    为圆心以为半径的圆为:,②

    ②得:,代入椭圆方程可得:

    时,由,故

    椭圆在处的切线的斜率

    切线方程为:,即

    原点到切线的距离

    故答案为:

    15已知是椭圆的两个顶点,直线与直线相交于点,与椭圆相交于两点,若,则斜率的值为______

    【答案】

    【解析】由题可知,该椭圆的方程为,直线的方程分别为

    ,其中

    联立方程,故

    ,知

    由点D在直线AB上,则

    所以

    故答案为:

    16已知点是椭圆的左焦点,过原点作直线交椭圆于两点,分别是的中点,若存在以为直径的圆过原点,则椭圆的离心率的范围是______.

    【答案】

    【解析】

    如图所示,当点分别是的中点时,的两条中位线,若以为直径的圆过原点,则有,

    设点,则点,又点

    所以,,

    ,又

    所以,,得

    即只需,整理得:

    解得,又

    所以.

    故答案为:

    三、解答题

    17已知椭圆的离心率为为椭圆上异于长轴端点的任意一点,面积的最大值为

    1)求椭圆的标准方程;

    2)已知为椭圆的右顶点,过左焦点的动直线交椭圆于两点(异于点),直线与定直线的交点分别为,若以为直径的圆经过点,求直线的方程.

    【答案】1;(2)直线的方程为

    【解析】1)由离心率得,,①

    因为当点为短轴端点时,面积最大,,②

    在椭圆中,③

    由①②③解得,,所以椭圆的标准方程为

    2)由(1)知,,设直线的方程为

    联立

    三点共线得,

    ,同理得

    因为以为直径的圆经过点

    所以,于是

    代入上式,得

    ,③

    代入③得

    解得,或(舍去).

    故直线的方程为

    18已知椭圆过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于两点.

    1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.

    2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.

    【答案】1)证明见解析;(2)存在,

    【解析】1)证明:∵椭圆经过点,∴

    当且仅当,即时,等号成立,

    此时椭圆的离心率.

    2)解:∵椭圆的焦距为2,∴,又,∴.

    当直线的斜率不存在时,由对称性,设.

    在椭圆上,∴,∴,∴到直线的距离.

    当直线的斜率存在时,设的方程为.

    ,得

    .

    ,则.

    ,∴

    ,即

    到直线的距离.

    综上,到直线的距离为定值,且定值为,故存在定圆,使得圆与直线总相切.

    19已知椭圆的离心率为,且椭圆的右顶点到直线的距离为3.

    1)求椭圆的方程;

    2)过点的直线与椭圆交于两点,求的面积的最大值(为坐标原点).

    【答案】1.(2

    【解析】1)因为椭圆的右顶点到直线的距离为3

    所以,解得(舍).

    因为椭圆的离心率为,所以

    所以,所以.

    故椭圆的方程为.

    2)由题意可知直线的斜率不为0

    则可设直线的方程为

    联立,整理得

    从而.

    的面积.

    ,则,故

    当且仅当,即时,的面积取得最大值2.

    20已知椭圆的短轴长等于,右焦点F距C最远处的距离为3.

    (1)    求椭圆C的方程;

    (2)    设O为坐标原点,过F的直线与C交于A、B两点(A、B不在x轴上),若,求四边形面积S的最大值.

    【答案】(1);(2)1

    【解析】(1)由已知得

    (2)因为过 的直线与交于两点(不在轴上),

    所以设

    ,由对勾函数的单调性易得当

    21已知椭圆的两个焦点均在以原点为圆心,短半轴长为半径的圆上,且该圆截直线所得的弦长为.

    1)求椭圆的标准方程.

    2)已知直线与椭圆的两个交点为,点的坐标为.问:的值是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.

    【答案】1;(2)为定值,.

    【解析】1)以原点为圆心,短半轴长为半径的圆的方程为.

    ∵圆过椭圆的两焦点,∴.

    (由圆过椭圆的焦点知点在该圆上,代入圆的方程即得

    ∵圆截直线所得的弦长为

    圆心到直线的距离与弦长一半的平方和等于半径的平方,

    ,解得.

    .

    ∴椭圆的标准方程为.

    2)设,联立椭圆和直线方程得

    消去,得

    由根与系数的关系得.

    因为,所以

    .

    的值为定值.

    22已知F1F2是椭圆Cab0)的左、右焦点,过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.

    (Ⅰ)求椭圆C的方程;

    (Ⅱ)过F1的直线l交椭圆于AB两点,当△ABF2面积最大时,求直线l的方程.

    【答案】(Ⅰ)y2=1;(Ⅱ)xy0x+y0.

    【解析】(Ⅰ)直线x+y=1y轴的交于(01)点,∴b=1

    设直线x+y=1与椭圆C交于点Mx1y1),Nx2y2),

    x1+x2y1+y2

    11

    两式相减可得x1x2)(x1+x2y1y2)(y1+y2)=0

    1

    解得a2=3

    ∴椭圆C的方程为y2=1.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)可得F10),F20),设Ax3y3),Bx4y4),

    可设直线l的方程x=my,将直线l的方程x=my代入y2=1,可得(m2+3y22my1=0

    y3+y4y3y4

    |y3y4|

    |F1F2||y3y4|||y3y4|

    当且仅当,即m1,△ABF2面积最大,

    即直线l的方程为xy0x+y0.

     

     

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