数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步达标检测题

直线与椭圆的位置关系（专题训练）

一、单选题

1．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A．－ B． C．－2 D．2

【答案】A

【解析】设以为中点的弦的两个端点分别为，

所以由中点坐标公式可得，

把两点坐标代入椭圆方程得

两式相减可得

所以，即所求的直线的斜率为.故选A项.

2．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，，由题知：

，.

设线段中点为，则.

将代入得到.

因为，故.故选：B

3．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，消可得得，解得，分别代入，

，，，，

，，，，

，

，

把代入式并整理得，

两边同除以并整理得，解得

，故选：．

4．已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，

则，，.

又因为A，B在椭圆C上，所以，，

两式相减可得，即.

又点M在l上，故，解得，.

因为点M在椭圆C内部，所以，解得.

故选：C

5．已知是椭圆的左焦点，过且与轴垂直的直线与交于，两点，点与关于原点对称，则的面积为（    ）

A．2 B．3 C．6 D．12

【答案】B

【解析】因为椭圆，

所以，

因为过且与轴垂直的直线与交于，两点，

所以，

因为点与关于原点对称，

所以，

所以，点到直线的距离为2，

所以的面积为.故选：B

6．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

由椭圆的定义知，，

，为椭圆的上顶点，设，又，

则直线，直线方程代入椭圆方程中得：

，解得或，

，，化简得，

.

故选：B

7．已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】双曲线的方程为，

所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，

为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，

将代入方程，整理可得.

①当时，满足题意；

②当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，

，且是方程的根，

则，解得.

所以，当时，.

根据对称性可知，当时，可求得.

因此，实数的取值范围是.故选：C.

8．已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【解析】设动点到l的距离为d, 由题意得，所以，

化简整理得曲线C的方程为，

若直线l存在斜率，设其方程为，设直线l与曲线C的交点，

将代入曲线中得，，

所以，

又点A到直线l的距离，故的面积，

所以，

（1）当时，，则；

（2）当时，，则；

（3）当时，（当且仅当，即取等号），则；

若直线l不存在斜率， MN=2. 于是的面积，

综上得：的面积的最大值为.故选：A.

9．椭圆的焦点、，为椭圆上的一点，已知，则的面积为（    ）

A．25 B．20 C．9 D．8

【答案】C

【解析】根据椭圆的定义，  ①，

，由勾股定理得，  ②，

将①平方再减去②得：，.

故选：C.

10．直线交椭圆于两点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解法一：由椭圆，则顶点为，

而直线也过，

所以为直线与椭圆的一个交点，设，

则=，

解得：，

所以或（不合，舍去），

把代入椭圆方程得：，故.

故选：B.

解法二：由得，

所以，

又，

所以=，

因为，所以，故.故选：B.

11．已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点，若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】椭圆的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，△的面积为，

可得：，解得，，

所以椭圆方程为：．故选：．

12．以过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与点的位置关系是（    ）．

A．点在圆内 B．点在圆外 C．在圆上 D．点与圆的关系不确定

【答案】A

【解析】当时，，解得，故，故，

圆心为，，故点在圆内.故选：A.

二、填空题

13．已知椭圆的焦点分别为，，两条平行线：，：交椭圆于，，，四点，若以，，，为顶点的四边形面积为，则椭圆的离心率为________.

【答案】

【解析】设，，，，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，

，，

所以，

直线，间的距离，

所以平行四边形的面积，整理可得：，即，

解得：，

由椭圆的性质可得，离心率，

故答案为：．

14．已知P为椭圆C：上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________.

【答案】

【解析】设，，则，

不妨设在第一象限，则，，

故以为圆心以为半径的圆为：，①

以为圆心以为半径的圆为：，②

①②得：，代入椭圆方程可得：，

故，，

当时，由得，故，

椭圆在处的切线的斜率．

切线方程为：，即，

原点到切线的距离．

故答案为：．

15．已知是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于两点，若，则斜率的值为______．

【答案】或

【解析】由题可知，该椭圆的方程为，直线，的方程分别为，

设，其中，

联立方程，故，

由，知，

由点D在直线AB上，则，

所以或

故答案为：或

16．已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______.

【答案】

【解析】

如图所示，当点分别是、的中点时，是的两条中位线，若以为直径的圆过原点，则有,，

设点，则点,又点，

所以，，,

则，又，

所以，，得，

即只需，整理得：

解得，又，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知椭圆的离心率为，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为椭圆的右顶点，过左焦点的动直线交椭圆于，两点（异于点），直线，与定直线的交点分别为，，若以为直径的圆经过点，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）直线的方程为．

【解析】（1）由离心率得，，①

因为当点为短轴端点时，面积最大，，②

在椭圆中，③

由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为．

（2）由（1）知，，，设直线的方程为，

联立消得，

设，，

则，

，．

设，，

由，，三点共线得，，

∴，同理得，

因为以为直径的圆经过点，

所以，于是，

由，，

．

将，，

代入上式，得，

∵，，

∴，③

将，，

代入③得，

解得，或（舍去）．

故直线的方程为．

18．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.

（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.

（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】（1）证明：∵椭圆经过点，∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

此时椭圆的离心率.

（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.

当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.

∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由，得，

.

设，，则，.

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴到直线的距离.

综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.

19．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值(为坐标原点).

【答案】（1）.（2）

【解析】（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为3，

所以，解得或（舍）.

因为椭圆的离心率为，所以，

所以，所以.

故椭圆的方程为.

（2）由题意可知直线的斜率不为0，

则可设直线的方程为，，，

联立，整理得，

则，，

从而.

故的面积.

设，则，故，

当且仅当，即时，的面积取得最大值2.

20．已知椭圆的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．

(1)    求椭圆C的方程；

(2)    设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形面积S的最大值．

【答案】（1）；（2）1

【解析】（1）由已知得，，

（2）因为过 的直线与交于两点（不在轴上），

所以设，

设

则

，

，由对勾函数的单调性易得当即

21．已知椭圆的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且该圆截直线所得的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）已知直线与椭圆的两个交点为，，点的坐标为.问：的值是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【答案】（1）；（2）为定值，.

【解析】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为.

∵圆过椭圆的两焦点，∴.

（由圆过椭圆的焦点知点，在该圆上，代入圆的方程即得）

∵圆截直线所得的弦长为，

圆心到直线的距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，

∴，解得.

∴.

∴椭圆的标准方程为.

（2）设，，联立椭圆和直线方程得

消去，得，，

由根与系数的关系得，.

因为，所以，，

∴

.

∴的值为定值.

22．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.

【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.

【解析】（Ⅰ）直线x+y=1与y轴的交于（0，1）点，∴b=1，

设直线x+y=1与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2，y1+y2，

∴1，1，

两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴，

∴ 1，

解得a2=3，

∴椭圆C的方程为y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），设A（x3，y3），B（x4，y4），

可设直线l的方程x=my，将直线l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，

则y3+y4，y3y4，

|y3﹣y4|，

∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，

当且仅当，即m=±1，△ABF2面积最大，

即直线l的方程为x﹣y0或x+y0.