高中人教B版 (2019)2.5.2 椭圆的几何性质第1课时导学案

椭圆的几何性质

第1课时椭圆的几何性质

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

自主思考

1.椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？

答案：提示椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为 .

2.若椭圆的长轴长和短轴长已经确定，则椭圆的标准方程是否能够确定？

答案：提示不确定，因为椭圆的焦点位置不确定.

3.在不变的情况下，随的变化，椭圆的形状如何变化？若不变，随的变化，椭圆的形状又如何变化呢？

答案：提示不变，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁.

不变，越大，椭圆越圆；越小，椭圆越扁.

名师点睛

椭圆几何性质的应用

（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点.

（2）明确的几何意义，是半长轴长，是半短轴长，不要与长轴长、短轴长混淆.

（3）椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线，围成的矩形内，即， .椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及.

（4）如图，若椭圆的标准方程为，则椭圆与轴的交点到焦点的距离分别最大和最小，且 .

（5）如图所示的椭圆中，，，， .

互动探究·关键能力

探究点一椭圆的几何性质

自测自评

1.（2021山东济南高二月考）若点在椭圆：的内部，则实数的取值范围是(     )

A.      B.

C. D.

答案：

解析：由题意得，解得，

所以的取值范围是 .

2.（多选）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面的距离为100千米，远月点与月球表面的距离为400千米，已知月球的直径约为3 476千米，对于该椭圆，下述四个结论正确的是(      )

A.焦距约为300千米B.长轴长约为3 976千米

C.两焦点坐标约为  D.离心率约为

答案： ; ;

解析：设该椭圆的半长轴长为千米，半焦距为c千米.依题意可得月球半径约为（千米），易知，，，，，椭圆的焦距约为150×2=300（千米），长轴长约为3 976千米，离心率约为，可得结论A、B、D正确，没有给坐标系，焦点坐标不确定，结论C错误.

3.求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

答案：由已知得，

.

椭圆的焦点在轴上，半长轴长，半短轴长，半焦距，

∴椭圆的长轴长，短轴长，

焦点坐标为，

顶点坐标为，

离心率 .

解题感悟

若所给的椭圆方程不是标准方程，则先把其化为标准方程，然后分清焦点的位置，求出，再求相应的性质.

探究点二根据椭圆的几何性质求椭圆的方程

精讲精练

例（1）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为(     )

A. B.

C. D.

（2）（2020山东淄博高二期中）阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆：的面积为，直线过椭圆的两个顶点，且椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：（1）（2）

解析：（1）易知直线与轴的交点为(-5,0)，

由题意得椭圆的左顶点为(-5,0).

所以椭圆的半长轴长，由椭圆的离心率为，知 .则，

所以椭圆的方程为 .

（2）依题意，，故 ①，

不妨设直线：，即，

则椭圆的中心到直线的距离为，解得 ②，

联立①②，解得，，

故椭圆C的方程为 .

变式把本例（1）的条件改为“椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 ”，求椭圆的标准方程.

答案：由题意得

.

所求椭圆的标准方程为或 .

解题感悟

在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程（组）确定 .

迁移应用

1.已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于，则椭圆的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：由长轴长是短轴长的2倍，得，即，

焦距等于，所以，即 .

由，解得，，所以椭圆的标准方程为 .

探究点三椭圆几何性质的应用

精讲精练

例（1）（2020山东济南月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星的运行轨道（椭圆）的离心率是(      )

A. B. C. D.

（2）已知椭圆的离心率是，则的最小值为(     )

A.  B.1 C.  D.2

答案：（1）（2）

解析：（1）以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系（图略），

令地心为椭圆的右焦点，设椭圆的标准方程为，

则地心的坐标为，由题意，得，

解得，所以 .

（2）由题意可得，，即，

，

则，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为 .

解题感悟

求椭圆离心率的方法：

①直接求出和，再求，也可利用求解.

②若和不能直接求出，则看是否可利用条件得到和的齐次等式，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率的方程，进而求解.

迁移应用

1.（2021山东聊城高二期末）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率 .设黄金椭圆的半长轴长，半短轴长，半焦距分别为，则满足的关系是(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：椭圆为黄金椭圆，，

，

，

故选B.

2.（2021山东东营广饶一中期末）已知椭圆：的左，右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为为正三角形，所以，取线段的中点，连接，如图.

易知，，

所以，即，

所以椭圆的离心率 .

评价检测·素养提升

1.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点为，则椭圆的标准方程为(      )

A. B.

C. D.

答案：

2.（多选）（2021山东聊城高二月考）已知椭圆：，则下列结论正确的是(      )

A.长轴长为

B.焦距为

C.焦点坐标为

D.离心率为

答案： ;

3.（2020山师附中高二月考）某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星，信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星的图片和其轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约（是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，千米），若将太阳看成一个质点，哈雷彗星的轨迹可以近似看成以太阳为一个焦点的椭圆，则该椭圆的离心率约是(      )

A.1.03B.0.97

C.0.83D.0.77

答案：