高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课时作业

专题七 双曲线（专题训练）

一、单选题

1．设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（    ）

A．3 B． C．5 D．

【答案】D

【解析】如图，设为的左焦点，连接，，

则，，

所以的周长.

因为，所以的周长.

因为的周长的最小值是，所以，

所以，所以双曲线的离心率是.故选D

2．已知点为双曲线：（，）的右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，则双曲线的离心率为（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，即.

∵点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半

∴，即.

∴，即.

∴

∴双曲线的离心率为.

故选B.

3．已知双曲线，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【解析】由题可知，

因为虚轴长为2，所以，

所以，得，

所以离心率，故选：A

4．点到双曲线的一条渐近线距离为（    ）

A． B． C．4 D．3

【答案】B

【解析】双曲线的渐近线方程为，

可以求得点到直线的距离为，

故选：B.

5．当变化时，对于双曲线，值不变的是（    ）

A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率

【答案】D

【解析】由题意可得，故选：D.

6．双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】由题知：，，则，

所以.故选：B

7．已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，

所以抛物线的准线方程为：，

又因为是以为底边的等腰三角形，

过M作MA垂直准线，如图所示：

则，

所以四边形是正方形，

则是等腰直角三角形，

所以，

所以，

又，

所以，

即，

解得.故选：A

8．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，

由圆的方程，得圆的半径为．

过作的垂线，则为的中点，

又，为的中点，设双曲线的右焦点为，连接，

则为三角形的中位线，可得，则，

由，可得．

，则，

由勾股定理可得：，

整理得：．

解得：或（舍．故选：．

9．若双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为双曲线的离心率，

所以，

，

所以该双曲线的渐近线方程为，故选B.

10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，，，

如图所示：

连接，，，由内切圆的性质可得：，，，

所以，

，

所以，

由双曲线的定义可知：，

所以可得，重合，

所以，

所以.

故选：．

11．设双曲线（）的焦距为12，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】因为可化为，

所以，则.故选：B.

二、多选题

12．曲线与的离心率分别为，，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】由曲线，可得，则，可得离心率，

由曲线，可得，则，

可得离心率，

因为，故A错误；

因为，故B正确；

因为，故C正确；

因为，故D错误.故选：BC.

三、填空题

13．已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为____________．

【答案】

【解析】设焦点坐标是， 其中一条渐近线方程是，设焦点关于渐近线的对称点是，

则 ，得：，解得：，

所以，，

所以双曲线的离心率是.

故答案为：.

14．双曲线的渐近线方程为_______.

【答案】

【解析】根据双曲线的方程得

则其渐近线方程为

故答案为：

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线左、右支于另一点，，，且，则双曲线的离心率为________.

【答案】

【解析】由题意，，，

，，

，，

由余弦定理可得，

，

．

故答案为：．

16．己知双曲线的左、右焦点分别为，直线是双曲线过第一、三象限的渐近线，记直线的倾斜角为，直线，，垂足为，若在双曲线上，则双曲线的离心率为_______

【答案】

【解析】设，

则，即，

解得，

则，

所以，

即，

代入双曲线的方程可得，

所以

所以

解得.故答案为：

四、解答题

17．已知命题表示双曲线，命题表示焦点在轴上的椭圆；

（1）若p且q为真命题，则p是q的什么条件？

（2）若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】（1）必要而不充分条件；（2）或.

【解析】（1）因为p且q为真命题，故为真命题，为真命题.

所以表示双曲线是真命题，

所以．解得．

又命题表示焦点在轴的椭圆是真命题，

所以，解得．

因为，所以p是q的必要而不充分条件．

（2）∵p或q假命题，∴假且假．

当假时，由（1）可知，有或①，

当为假，有 或②，

由①②解得或.

18．已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．

（1）求抛物线和双曲线的标准方程；

（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．

【答案】（1）抛物线E的标准方程为，双曲线C的标准方程为（2）

【解析】（1）由双曲线过点，且其离心率为．

，，，

联立解得：，．

双曲线的标准方程为：．

由，可得，解得．

抛物线的标准方程为：．

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．

的方程为：．

可得，．．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

由题意可得：．联立，化为：．

设，，，．则，．

，

．

设的半径为，则．

过点作，垂足为．

在中，．

，则．

综上可得：的最大值为．

19．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．

(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.

【答案】(1)；(2)

【解析】 (1)因为双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点，所以解得，所以双曲线的方程为

(2)双曲线的右焦点为

所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为．

联立得.

设，则.

所以.

20．已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线(与轴不重合)交椭圆于，两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】 (1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，

又，所以，解得，，

所以椭圆的方程为.

(2)由(1)知，设，，设直线的方程为.

联立得，

由得，

∴，

又，所以直线的斜率.

①当时，；

②当时，，即.

综合①②可知，直线的斜率的取值范围是.

21．已知双曲线

（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．

【答案】（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.

【解析】（1）当时，

双曲线方程化为，

所以，，，

所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，

渐近线方程为.

（2）因为，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是．

22．.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支

，，

的方程为：

（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：

此时，   

②当直线斜率存在时，设直线方程为：

代入双曲线方程可得：

可知上式有两个不等的正实数根   

解得：

由得：

综上所述，的最小值为