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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀导学案及答案

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀导学案及答案,共13页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。

    【学习目标】


    【自主学习】


    1.抛物线的几何性质


    2.焦点弦


    直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+eq \f(p,2),|BF|=x2+eq \f(p,2),故|AB|= .


    3.直线与抛物线的位置关系


    直线与抛物线有三种位置关系: 、 和 .


    设直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将y=kx+m代入y2=2px,消去y并化简,得k2x2+2(mk-p)x+m2=0.


    ①k=0时,直线与抛物线只有 交点;


    ②k≠0时,Δ>0⇔直线与抛物线 ⇔有 公共点.


    Δ=0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点.


    Δ<0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点.


    【小试牛刀】


    1.抛物线关于顶点对称.( )


    2.抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )


    3.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )


    4.抛物线y2=2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.( )


    5.抛物线y=-eq \f(1,8)x2的准线方程为x=eq \f(1,32).( )


    【经典例题】


    题型一 抛物线性质的应用


    把握三个要点确定抛物线的简单几何性质


    (1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.


    (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.


    (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.


    例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2eq \r(3),则抛物线的方程为________.


    (2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,求抛物线的方程.














    [跟踪训练]1 已知抛物线y2=8x.


    (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;


    (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.














    题型二 直线与抛物线的位置关系


    直线与抛物线交点问题的解题思路


    (1)判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程,则利用判别式判断方程解的个数.


    (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形:(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行;(2)直线与抛物线相切.


    例2 已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.














    [跟踪训练]2若抛物线y2=4x与直线y=x-4相交于不同的两点A,B,求证OA⊥OB.














    题型三 中点弦及弦长公式


    “中点弦”问题解题方法








    例3 已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,




















    [跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求AB所在直线的方程.











    题型四 抛物线的综合应用


    例4 求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.











    [跟踪训练]4 如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.


    (1)求抛物线的方程及其准线方程;


    (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB的斜率为定值.




















    【当堂达标】


    1.在抛物线y2=16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )


    A.(4eq \r(2),±2) B.(±4eq \r(2),2)


    C.(±2,4eq \r(2))D.(2,±4eq \r(2))


    2.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )


    A.y2=8x B.y2=-8x


    C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y


    3.若抛物线y2=2x上有两点A、B且AB垂直于x轴,若|AB|=2eq \r(2),则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )


    A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)


    4.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))=-4,则点A的坐标是( )


    A.(2,±2eq \r(2))B.(1,±2)


    C.(1,2)D.(2,2eq \r(2))


    5.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )


    A.4条 B.3条


    C.2条 D.1条


    6.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|AB|=________.


    7.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是________.


    8.已知抛物线x=-y2与过点(-1,0)且斜率为k的直线相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积等于eq \r(10)时,求k的值.














    9.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.


    (1)若|AB|=10,求实数m的值;


    (2)若OA⊥OB,求实数m的值.

















    10.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.

















    【参考答案】


    【自主学习】


    x=-eq \f(p,2) x=eq \f(p,2) y=-eq \f(p,2) y=eq \f(p,2) x轴 y轴 (0,0) 1 x1+x2+p 相离 相切 相交


    一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有


    【小试牛刀】


    × √ √ √ ×


    【经典例题】


    例1 (1)y2=3x或y2=-3x [根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为±eq \r(3),交点横坐标为±1,则抛物线过点(1,eq \r(3))或(-1,eq \r(3)),设抛物线方程为


    y2=2px或y2=-2px(p>0),则2p=3,从而抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.]


    (2)[解] 如图,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,


    设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,


    由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在Rt△ACE中,∵|AF|=4,|AC|=4+3a,


    ∴2|AE|=|AC|,∴4+3a=8,从而得a=eq \f(4,3),∵BD∥FG,∴eq \f(\f(4,3),p)=eq \f(2,3),p=2.因此抛物线的方程是y2=4x.


    [跟踪训练]1 解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.


    (2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,


    又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=eq \f(2,3)|OM|.


    因为F(2,0),所以|OM|=eq \f(3,2)|OF|=3,所以M(3,0).


    故设A(3,m),代入y2=8x得m2=24;所以m=2eq \r(6)或m=-2eq \r(6),


    所以A(3,2eq \r(6)),B(3,-2eq \r(6)),所以|OA|=|OB|=eq \r(33),所以△OAB的周长为2eq \r(33)+4eq \r(6).


    例2 解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,y2=4x,))消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当k=0时,(*)式只有一个解x=eq \f(1,4),∴y=1,∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4),1)),此时直线l平行于x轴.


    当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).


    ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,


    l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;


    ②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;


    ③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.


    综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;


    当k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点;


    当k>1时,l与C没有公共点.


    [跟踪训练]2 [证明] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=4x,,y=x-4,))消去y,得x2-12x+16=0.


    ∵直线y=x-4与抛物线相交于不同两点A,B,


    ∴可设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=12,x1x2=16.


    ∵eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-4)(x2-4)=x1x2+x1x2-4(x1+x2)+16=16+16-4×12+16=0,∴eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→)),即OA⊥OB.


    例3 解 由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0)),设A(x1,y1),B(x2,y2),


    若AB⊥x轴,则|AB|=2p≠eq \f(5,2)p,不满足题意.


    所以直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为y=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(p,2))),k≠0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(p,2))),,y2=2px,))


    消去x,整理得ky2-2py-kp2=0.由根与系数的关系得y1+y2=eq \f(2p,k),y1y2=-p2.


    所以|AB|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,k2)))·y1-y22)=eq \r(1+\f(1,k2))·eq \r(y1+y22-4y1y2)=2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,k2)))=eq \f(5,2)p,


    解得k=±2.


    所以AB所在的直线方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0.


    [跟踪训练]3 [解] 法一:(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有yeq \\al(2,1)=8x1,yeq \\al(2,2)=8x2,∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).


    又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2),即eq \f(y1-y2,x1-x2)=4,∴kAB=4.


    ∴AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.


    法二:由题意知AB所在直线斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=8x,,y=kx-4+1,))消去x,得ky2-8y-32k+8=0,


    此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标.


    由根与系数的关系得y1+y2=eq \f(8,k).又y1+y2=2,∴k=4.∴AB所在直线的方程为4x-y-15=0.


    例4 解 方法一 设A(t,-t2)为抛物线上的点,


    则点A到直线4x+3y-8=0的距离d=eq \f(|4t-3t2-8|,5)=eq \f(|3t2-4t+8|,5)=eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(2,3)))2-\f(4,3)+8))


    =eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(2,3)))2+\f(20,3)))=eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(2,3)))2+eq \f(4,3).


    所以当t=eq \f(2,3)时,d有最小值eq \f(4,3).


    方法二 如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,





    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=-x2,,4x+3y+m=0,))消去y得3x2-4x-m=0,∴Δ=16+12m=0,∴m=-eq \f(4,3).


    故最小距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(-8+\f(4,3))),5)=eq \f(\f(20,3),5)=eq \f(4,3).


    [跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则由点P(1,2)在抛物线上,得22=2p×1,解得p=2,


    故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.


    (2)证明:因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPA=-kPB,即eq \f(y1-2,x1-1)=-eq \f(y2-2,x2-1).


    又A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,所以x1=eq \f(y\\al(2,1),4),x2=eq \f(y\\al(2,2),4),从而有eq \f(y1-2,\f(y\\al(2,1),4)-1)=-eq \f(y2-2,\f(y\\al(2,2),4)-1),即eq \f(4,y1+2)=-eq \f(4,y2+2),得y1+y2=-4,故直线AB的斜率kAB=eq \f(y1-y2,x1-x2)=eq \f(4,y1+y2)=-1.


    【当堂达标】


    1.D [抛物线y2=16x的顶点O(0,0),焦点F(4,0),设P(x,y)符合题意,则有


    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=16x,,x2+y2=x-42+y2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=16x,,x=2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=±4\r(2).))所以符合题意的点为(2,±4eq \r(2)).]


    2. C解析 设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),


    依题意得x=eq \f(p,2),代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.


    ∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.


    3.A [线段AB所在的直线方程为x=1,抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),0)),则焦点到直线AB的距离为1-eq \f(1,2)=eq \f(1,2).]


    4.B [由题意知F(1,0),设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4),y0)),则eq \(OA,\s\up8(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4),y0)),eq \(AF,\s\up8(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(y\\al(2,0),4),-y0)),由eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))=-4得y0=±2,∴点A的坐标为(1,±2),故选B.]


    5. B解析 当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有1条;


    当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有2条,故选B.


    6. 8解析 因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.


    7.eq \f(15,8) [设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线2x2=y,可得p=eq \f(1,4).


    ∵|AB|=y1+y2+p=4,∴y1+y2=4-eq \f(1,4)=eq \f(15,4),故AB的中点的纵坐标是eq \f(y1+y2,2)=eq \f(15,8).]


    8.解 过点(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1)(k≠0),


    由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-y2,,y=kx+1,))消去x整理得ky2+y-k=0,Δ=1+4k2>0,


    设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数之间的关系得y1+y2=-eq \f(1,k),y1·y2=-1.


    设直线与x轴交于点N,显然N点的坐标为(-1,0).


    ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=eq \f(1,2)|ON||y1|+eq \f(1,2)|ON||y2|=eq \f(1,2)|ON||y1-y2|,


    ∴S△AOB=eq \f(1,2)×1×eq \r(y1+y22-4y1y2)=eq \f(1,2)×eq \r(\f(1,k2)+4)=eq \r(10),


    解得k=±eq \f(1,6).


    9.解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x+m,,y2=8x,))得x2+(2m-8)x+m2=0.


    由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.


    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.


    (1)因为|AB|=eq \r(1+k2)eq \r(x1+x22-4x1x2)=eq \r(2)·eq \r(64-32m)=10,所以m=eq \f(7,16),经检验符合题意.


    (2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,解得m=-8或m=0(舍去).


    所以m=-8,经检验符合题意.


    10.[解] 当抛物线焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0)),直线l的方程为y=x-eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),过点A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点A1,点B1,则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1+\f(p,2)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2+\f(p,2)))=x1+x2+p=6,


    ∴x1+x2=6-p.①


    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x-\f(p,2),,y2=2px))消去y,得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(p,2)))eq \s\up10(2)=2px,即x2-3px+eq \f(p2,4)=0.∴x1+x2=3p,代入①式得3p=6-p,∴p=eq \f(3,2).


    ∴所求抛物线的标准方程是y2=3x.


    当抛物线焦点在x轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=-3x.课程标准
    学科素养
    1.掌握抛物线的几何性质.(重点)


    2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(重点)


    3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点)
    1、直观想象


    2、数学运算


    3、逻辑推理
    标准方程
    y2=2px(p>0)
    y2=-2px(p>0)
    x2=2py(p>0)
    x2=-2py(p>0)
    图形
    性质
    焦点
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0))
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(p,2),0))
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(p,2)))
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(p,2)))
    准线




    范围
    x≥0,y∈R
    x≤0,y∈R
    y≥0,x∈R
    y≤0,x∈R
    对称轴
    顶点
    离心率
    e=
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