多维层次练48-椭圆及简单几何性质学案

这是一份多维层次练48-椭圆及简单几何性质学案，共13页。

1．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由条件知|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|，点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
答案：A
2．(2021·广东省适应性考试)椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
解析：这里的c＝eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，又由题意∠F1AF2＝eq \f(π,3)，得∠F1AO＝eq \f(π,6)，则tan∠F1AO＝eq \f(1,m)＝eq \f(\r(3),3)，解得m＝eq \r(3)，故选C.
答案：C
3．(2020·河南洛阳第一次模拟)已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )
A．5 B．6
C．9 D．10
解析：由椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得eq \r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C.
答案：C
4．(2020·河北衡水二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，则eq \f(a,b)＝( )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(3\r(2),2)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(3\r(2),4)
解析：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3)，所以8a2＝9b2，
所以eq \f(a,b)＝eq \f(3\r(2),4).故选D.
答案：D
5．(多选题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．c1a2>a1c2 D．eq \f(c1,a1)解析：由题图可知a1>a2，c1>c2，
所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
因为a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，
所以a1－c1＝a2－c2，B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，可得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，
aeq \\al(2,1)－ceq \\al(2,1)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)－ceq \\al(2,2)＋2a2c1，
即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，
因为b1>b2，所以c1a2>a1c2，C正确；
可得eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，D不正确．
故选BC.
答案：BC
6．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq \f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1
B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3)
D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
解析：由已知得，2b＝2，b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
所以椭圆方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1.
如图，
所以|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，
△PF2Q的周长为4a＝4eq \r(3).
故选ACD.
答案：ACD
7．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．
因为点M在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上，
所以联立方程可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝±\r(15).))
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
8．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与椭圆C2：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－eq \r(2)，0)，且四边形ABCD的面积为eq \f(16,3)，则椭圆C1的离心率e为________．
解析：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(y2,a2)＋\f(x2,b2)＝1，))
两式相减得eq \f(x2－y2,a2)＝eq \f(x2－y2,b2)，又a≠b，
所以x2＝y2＝eq \f(a2b2,a2＋b2)，
故四边形ABCD为正方形，eq \f(4a2b2,a2＋b2)＝eq \f(16,3)，(*)
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
所以椭圆C的离心率e＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9.(2019·江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝eq \f(5,2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，c＝1.
又因为DF1＝eq \f(5,2)，AF2⊥x轴，
所以DF2＝eq \r(DFeq \\al(2,1)－F1Feq \\al(2,2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)－22)＝eq \f(3,2).
因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.
由b2＝a2－c2，得b2＝3.
因此，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由(1)知，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，a＝2.
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，
解得y＝±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．
又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋2，,（x－1）2＋y2＝16，))得5x2＋6x－11＝0，
解得x＝1或x＝－eq \f(11,5).
将x＝－eq \f(11,5)代入y＝2x＋2，得y＝－eq \f(12,5).
因此Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,5)，－\f(12,5))).又F2(1，0)，
所以直线BF2：y＝eq \f(3,4)(x－1)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,4)（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得7x2－6x－13＝0，
解得x＝－1或x＝eq \f(13,7).
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.
将x＝－1代入y＝eq \f(3,4)(x－1)，得y＝－eq \f(3,2).
因此Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))).
10．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且eq \f(\r(2),2)解：(1)由题意得c＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2eq \r(3)，又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝kx))得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq \f(－a2b2,b2＋a2k2)，依题意易知，OM⊥ON，
四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.
因为eq \(F2A,\s\up15(→))＝(x1－3，y1)，eq \(F2B,\s\up15(→))＝(x2－3，y2)，
所以eq \(F2A,\s\up15(→))·eq \(F2B,\s\up15(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.
即eq \f(－a2（a2－9）（1＋k2）,a2k2＋（a2－9）)＋9＝0，
将其整理为k2＝eq \f(a4－18a2＋81,－a4＋18a2)＝－1－eq \f(81,a4－18a2).
因为eq \f(\r(2),2)所以k2≥eq \f(1,8)，即k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
[综合应用练]
11．(多选题)(2020·山东菏泽期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）)
解析：由题设条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(m＝a－c－R，①,n＝a＋c－R，②)))
所以a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；
①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋R＝a－c，,n＋R＝a＋c))可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
12．(2020·湖南师大附中模拟)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足eq \(FA,\s\up15(→))·eq \(FB,\s\up15(→))＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),3)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1)) D. [eq \r(3)－1，1)
解析：设椭圆左焦点为F′，连接AF′、BF′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又eq \(FA,\s\up15(→))·eq \(FB,\s\up15(→))＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设|AF′|＝n，|AF|＝m，
则在直角三角形AF′F中m＋n＝2a，
m2＋n2＝4c2，①
得mn＝2b2，②
①÷②得eq \f(m,n)＋eq \f(n,m)＝eq \f(2c2,b2)，令eq \f(m,n)＝t，得t＋eq \f(1,t)＝eq \f(2c2,b2).
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得1≤eq \f(|FA|,|FB|)≤2，
则eq \f(m,n)＝t∈[1，2]，所以t＋eq \f(1,t)＝eq \f(2c2,b2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，
又eq \f(2c2,b2)＝eq \f(2c2,a2－c2)＝eq \f(2e2,1－e2)，则可得eq \f(\r(2),2)≤e≤eq \f(\r(5),3)，即离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3))).故选A.
答案：A
13．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为________．
解析：如图所示，
设AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则y1＝－y2.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ty＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))可得y2＝eq \f(a2b2,b2t2＋a2)＝－y1y2，
所以△ABF的面积S＝eq \f(1,2)c|y1－y2|＝eq \f(1,2)c·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝ceq \r(\f(a2b2,b2t2＋a2))≤cb，当t＝0时取等号．
所以bc＝2，所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.
所以椭圆E的长轴长的最小值为4.
答案：4
14．已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距离是3.
(1)椭圆E的方程为____________；
(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，则直线l的方程为____________．
解析：(1)由题意得，b＝1.右焦点(c，0)(c>0)到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，所以c＝eq \r(2)，所以a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(3)，所以椭圆E的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，所以xA＝0，xB＝eq \f(－6k,1＋3k2)，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \f(6|k|,1＋3k2)，|AB|2＝eq \f(36k2（1＋k2）,（1＋3k2）2).
令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，
则|AB|2＝4×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))\s\up12(2)＋\f(1,t)＋1))
所以当eq \f(1,t)＝eq \f(1,4)，即k2＝1，得k＝±1时，|AB|2取得最大值为eq \f(9,2)，即|AB|的最大值为eq \f(3\r(2),2)，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
因为2答案：(1)eq \f(x2,3)＋y2＝1 (2)y＝x＋1或y＝－x＋1
15．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解析：(1)由题设可得eq \f(\r(25－m2),5)＝eq \f(\r(15),4)，得m2＝eq \f(25,16)，
所以C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(25,16))＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋yeq \\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋yeq \\al(2,Q)) .
因为|BP|＝|BQ|，
所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，
解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2).|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
[拔高创新练]
16．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使eq \f(1－cs2∠PF1F2,1－cs2∠PF2F1)＝eq \f(a2,c2)，求该椭圆的离心率的取值范围．
解：由eq \f(1－cs2∠PF1F2,1－cs2∠PF2F1)＝eq \f(a2,c2)得eq \f(c,a)＝eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2).
又由正弦定理得eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，
所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(c,a).
即|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|.
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝eq \f(2a2,a＋c)，|PF1|＝eq \f(2ac,a＋c)，
因为PF2是△PF1F2的一边，
所以有2c－eq \f(2ac,a＋c)即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0