数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直备课课件ppt

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直备课课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了图形语言，符号语言，直线与平面所成的角，°≤θ≤90°，β＞θ，归纳小结，布置作业，目标检测等内容，欢迎下载使用。

问题1　在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
一、探究、建构直线与平面垂直的定义
那么什么叫做直线与平面垂直呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？
追问1　在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
追问2　旗杆所在直线AB是否与平面内所有直线垂直呢？由此，你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？
追问3　直线与平面垂直的定义中，“任意”能改为“无数”吗？也就是说，如果直线与平面内无数条直线垂直，能说直线与平面垂直吗？
即便直线与平面内无数条直线垂直，但只要平面内存在一条直线与之不垂直，就不能说直线与平面垂直．
直线与平面垂直的相关概念
如图，若直线l⊥平面α，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
当直线l⊥平面α时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
问题3　我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做点到该平面的距离．
问题4　根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？
二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理
准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么？
追问1　为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？
由基本事实的推论2可知，两条相交直线可以确定一个平面；由平面向量基本定理可知，这两条相交直线可以“表示” 这个平面内的所有直线．因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面．
追问2　为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直，而不是“两条平行直线”或“三条两两相交直线”或“无数条直线”呢？
问题5　试分别用图形语言、符号语言表示直线与平面垂直的判定定理，并举例说明它在日常生活中的应用．
例1　求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
三、巩固运用直线与平面垂直的判定定理
追问1　你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？
已知：a//b，a⊥α．求证：b⊥α．
追问2　结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？
如图，在平面α内取两条相交直线m，n．∵ a⊥α， ∴ a⊥m， a⊥n，∵ a//b， ∴ b⊥m， b⊥n．又m，n是平面α内的两条相交直线，∴ b⊥α．
你还有不同的证明方法吗？
在平面α内任取一条直线，用直线与平面垂直的定义证明．
四、直线与平面所成的角及其应用
问题6　直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时（如图），可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？
一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫做斜足．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
特别地，若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°； 若直线l在平面α内，则称它们所成的角为0°．
直线与平面所成的角θ的取值范围为______________．
过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影．
例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
追问：由直线与平面所成角的概念知，应该先找到或作出直线A1B在平面A1DCB1上的射影，那么怎样才能得到这条射影呢？
连接BC1，交CB1于点O，连接A1O ．易证BC1⊥平面A1DCB1，故∠BA1O就是所求的线面角．
解：连接BC1，B1C．BC1与B1C相交于点O，连接A1O．设正方体的棱长为a．
∵ A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩ B1B＝B，
∴ A1B1⊥平面BCC1B1．
∴ A1B1⊥BC1．
又 BC1⊥B1C， ∴ BC1⊥平面A1DCB1．
∴ A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
∴ ∠BA1O＝30°．
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
直线l与平面α上不是它的射影的直线所成的角（记作β）与l和α所成的角（记作θ）的大小关系是什么？
平面α内所有的直线与直线l所成的角中，以直线l和平面α所成的角最小．（线面角的最小性）
你能定量给出斜线和平面任意一条直线所成的角φ、斜线和平面所成角θ、斜线的射影和该直线所成的角β这三个角度的余弦值之间的关系吗？
（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）直线与平面垂直的定义与判定和前面学过的直线与平面平行的定义与判定在知识结构、思想方法等方面有哪些共同点和不同点？（3）请对本节课的学习情况做一个简单的自我评价，并寻找学习中存在的问题与不足．
教科书第152页练习第1，2，4题．
1．如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB．
2．如图，直四棱柱ABCD-A′B′C′D′（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？
3．已知∠BAC在平面α内，P不属于α，∠PAB=∠PAC．求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的角平分线或其反向延长线上．