【数学】四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）
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高二上学期开学考试（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的对角线交于点，若，，用、表示为
A． B． C． D．
3．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于
A． B． C． D．
4．下列结论正确的是
A．若直线，直线，则
B．若直线，则内的所有直线都与垂直
C．若直线不平行于，则内没有与平行的直线
D．若直线不垂直于，则内没有与垂直的直线
5．已知，则在数列的前40项中最大项和最小项分别是
A．， B．， C．， D．，
6．设为等差数列的前项和，，，则
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
7．如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为
A． B． C． D．
8．设，向量，，若，则
A． B． C． D．5
9．在直角坐标系中，已知点，，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则
A． B． C． D．
10．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是
A． B． C． D．
11．定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则
A． B． C． D．
12．已知平面向量满足，、为不共线的单位向量.且恒成立，则、夹角的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线的倾斜角为__________；
14．已知点、、，则△的面积是________.
15．已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是______.
16．在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
17．（10分）已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；
Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
18．（12分）如图，在中，已知点在边上，，，，.（I）求的值；
（II）求的长.
19．（12分）过点作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.
（I）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程；
（II）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程.
20．（12分）已知数列是一个公差大于零的等差数列，且，，数列的前项和为，且.
（I）求数列，的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
21．（12分）如图,四棱锥的侧面是正三角形,,且,,是中点.
（I）求证：平面；
（II）若平面平面,且,求二面角的余弦值.
22．（12分）已知函数， 且．
（I）当时，设集合，求集合；
（II）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；
（III）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．B
13． 14． 15． 16．
17．解：已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．
Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，
两直线即直线：，直线：，
由求得，直线与的交点坐标为
18．解:(1)在中, , ，所以 .
同理可得, .所以
.
(2)在中,由正弦定理得, .
又,所以.
在中,由余弦定理得,
.
19．(1)根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,
,
又(当且仅当,即时取等号),,即,
的最小值为8,此时直线l的方程为;
(2)由(1)可知,,则,
(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的方程为.
20．（1）依题意，设等差数列的公差为，则有
将②代入①得，即，∵，∴，.∴.
当时，，，
当时，，∴.
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，.
（2）∵，，①②
①－②，得
，∴.
20.（1）取的中点,连接,
因为是中点,所以,且,
又因为,,所以,,
即四边形是平行四边形,所以,
又因为平面,平面,所以平面；
（2）取中点,连接,,
因为是正三角形,所以,因为平面平面,
所以平面,平面,所以,故,
过作交于,
所以,且平面,
过作交于,连接,所以,
所以为二面角的平面角,因为,,
因为平面,所以,且,
又因为,所以,,
故,所以二面角的余弦值为.
22．（1）由时，.由得，即，
解得，所以．
（2）由得，
所以，
所以可转化为：在上恒成立，解得，
所以实数的取值范围为．
（3）“对任意的，存在，使不等式恒成立”，等价于
“，时，”．
①当时，由题意可得函数为上的减函数，为上的增函数，
故等价于，即，不等式无解；
②当时，为上的增函数，为上的减函数，
故等价于，即，
解得．综上可得．所以实数的取值范围为．
