【数学】四川省泸县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）
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高二上学期开学考试（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线yx+2，则其倾斜角为
A．60° B．120° C．60°或120° D．150°
2．的值是
A． B． C． D．
3．若，则
A．2 B．4 C． D．
4．已知，则
A． B． C． D．
5．已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．已知，则
A． B． C． D．
7．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为
A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．，，则
9．数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，则a2019的值为
A．﹣2 B． C． D．
10．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为
A． B． C． D．
11．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知是函数的两个零点，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设实数满足，则的最小值为_____
14．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．
15．已知为所在平面内一点，且，则_____
16．函数，若方程恰有3个不同的实数解，记为，，，则的取值范围是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
17．（10分）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．（12分）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求
（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；
（2）BC边的中线所在直线的方程．
19．（12分）记公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知=2，是与的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn．
20．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（1）求证：成等差数列；
（2）若求.
21．（12分）如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值
（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由
22．（12分）已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.
参考答案
1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A
13．0． 14．. 15． 16．
17．（1）
∵，∴
（2）
18．（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0），故BC的斜率为，
故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝0．
（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，
即7x﹣y﹣11＝0．
19．解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），
解得：d=2（d≠0），
∴an=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
∴，
∴=．
20．解：（Ⅰ）由正弦定理得：
即2分
∴
即4分
∵
∴即
∴成等差数列. 6分
（Ⅱ）∵∴8分
又10分
由（Ⅰ）得：∴12分
21．（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，
∴PM⊥AB．
∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，
∴AB⊥面PMC，
∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．
∴PM⊥面ABCD，
∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．
PM，MD，PD
sin∠PMD，
即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，
则有面PBD∩面MNC＝NE，
∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．
∴．
线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．
22．（1）由得，所以，
由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，
得，
即，即，即，
因为，所以，所以.
（2）由于，所以，
所以，
，
两式相减得，，
所以
（3）由知，
∴
，∴，解得或.
即实数的取值范围是
