【数学】四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

四川省泸县第五中学2020-2021学年

高二上学期开学考试（理）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为

A.45° B.60° C.120° D.135°

2.下列命题正确的是

A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面

C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面

3.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为

A.     B. 1    C.     D.

4.已知，，且，则向量与的夹角为

A. B. C. D.

5.在中，已知，，，则

A.4 B.2 C.3 D.

6.设是等比数列的前项和，若，则为

A. B. C. D.

7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

8.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为

A. B.或

C. D.或

9.在中, = 分别为角的对应边),则的形状为

A. 正三角形    B. 直角三角形    C. 等腰直角三角形    D. 等腰三角形

10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是

A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称

C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为

11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于

A.     B.     C.     D.

12.已知函数，则关于的不等式的解集是

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.不等式的解集为__________.

14..若，，则的最小值为____________

15.已知直三棱柱所有的棱长都相等，D，E分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______________

16.在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为____________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

17.（10分）已知直线：x+y-1=0.

（1）求过原点且与直线平行的直线方程.

（2）求过点(2，3)且与直线垂直的直线方程.

18.（12分）设函数，.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，求函数的最值.

19.（12分）已知正项等比数列的前项和为，且，，数列满足，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20.（12分）在 中， 所对的边分别为，

且.

(1)求角的大小；

(2)若， ， 为的中点，求的长．

21.（12分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.

（1）求证：；

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）若，试判断二面角的大小能否为？

说明理由.

22.对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．

（1）若，，则与在区间上是否“友好”；

（2）现在有两个函数与，给定区间．

①若与在区间上都有意义，求的取值范围；

②讨论函数与与在区间上是否“友好”．

参考答案

1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.D 11.B 12.A

13..  14.   15.  16.

17.解：（1）直线的斜率为，

过原点且与直线平行的直线方程为：，即；

（2）直线的斜率为，

与直线垂直的直线的斜率为1，

过点且与直线垂直的直线方程为：，即．

18.（1）∵，.

，∴.

（2）∵，∴，

∴，

∴函数，，

∴函数在区间上的最大值为，最小值为.

19.（1）设等比数列的公比为，

依题意可得所以，

所以，即，解得或（舍），

所以，所以，

所以，因为，

所以，，，，，

将以上各式相加可得，

所以.

综上所述：，.

（2）因为，

所以数列的前项和为

.

20.(1)因为asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，

由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c，  

整理得a2＝b2＋c2－2bc，            

由余弦定理得cos A＝＝＝， 

因为A∈(0，π)，所以A＝.              

(2)由cos B＝，得sin B＝＝＝，

所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－，

由正弦定理得b＝＝＝2，       所以CD＝AC＝1，                          

在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，

所以BD＝.

21.（1）由平面平面，平面平面，

且，所以平面，

又平面，所以；

（2）依题意都在平面上，

因此平面，平面，

又平面，平面，

平面与平面平行，即两个平面没有交点，

则与不相交，又与共面，

所以，同理可证，

所以四边形是平行四边形；

（3）不能.如图，作交于点，延长

交于点，连接，

由，，，

所以平面，则平面，又，

根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，

若，则是等腰直角三角形，，

又，

所以中，由大角对大边知，

所以，这与上面相矛盾，

所以二面角的大小不能为.

22.（1）由已知，，因为时，

，所以恒成立，故

与在区间上是“友好”的.

（2）①与在区间上都有意义，

则必须满足，解得，又且，

所以的取值范围为.

②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，

则，即，

因为，则，，所以在的右侧，

又复合函数的单调性可得在区间上为减函数，

从而，，

所以，解得，

所以当时，与与在区间上是“友好”的；

当时，与与在区间上是“不友好”的.