四川省宜宾市第四中学2021届高三上学期开学考试 数学（理）（word版含答案）
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理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：
关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是
A．各月的利润保持不变 B．各月的利润随营业收入的增加而增加
C．各月的利润随成本支出的增加而增加 D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系
4．若为奇函数，，则在处的切线方程为
A． B． C． D．
5．已知抛物线C：的焦点为F，M为C上一点，若，则（O为坐标原点）的面积为
A． B． C． D．
6．已知，则=
A． B． C． D．
7．已知向量，，，若，则与夹角是
A． B． C． D．
8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为
A．6 B．21
C．27 D．54
9．已知满足，则的取值范围为
A． B．
C． D．
10．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为
A． B． C． D．
11．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
12．设函数，若实数满足，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中项的系数为_______．
14．已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为____．
15．在平面直角坐标系中，已知圆：，若等腰直角的斜边为圆的一条弦，则的最大值为______.
16．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知在中，，.
（1）求的值；
（2）若，的平分线交于点，求的长.
18．（12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资，得到这名农民工的月工资均在(百元)内，且月工资收入在(百元)内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值；
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名.
①完成如下所示列联表
| 技术工 | 非技术工 | 总计 |
月工资不高于平均数 |
|
| |
月工资高于平均数 |
|
| |
总计 |
②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:，其中.
19．（12分）如图，三棱锥中，
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）设分别是椭圆的左、右焦
点，已知椭圆的长轴为是椭圆上一动点，的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围.
21．（12分）已知函数．
（1）当时，若函数在，（）处导数相等，证明：；
（2）是否存在，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），直线过点且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）设在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集．
（2）设函数，，若，求的取值范围．
2020年四川省宜宾市第四中学高三开学考试
理科数学参考答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A 10．D 11．D 12．A
13．40 14． 15． 16．
17．（1）因为，所以.
，可得.
（2）因为是角平分线，所以，
由，可得，，
所以，
由可得.
18．(1)月工资收入在(百元)内的人数为
月工资收入在(百元)内的频率为:；
由频率分布直方图得:
(2)①根据题意得到列联表:
| 技术工 | 非技术工 | 总计 |
月工资不高于平均数 | |||
月工资高于平均数 | |||
总计 |
不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关
19．（1）取中点，连结，，，
，，为直角，，
平面，平面，∴面面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，
可取为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为.
则，其中，
，不妨取，则.
.
为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
20．（1）因为椭圆的长轴为所以，设的坐标为：，所以有
，两焦点坐标为：，因此
，所以
，
显然当时，有最大值，最大值为，因此椭圆方程为：；
（2）的取值范围为.
21．（1）当时，，所以，
由题意，得，因为，所以，
所以，所以，
所以．
（2）曲线在点处的切线方程为：
，
函数在点处的切线方程，
要存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需在处使与重合，
所以
由①得代入②整理得，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，设，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以．
（ⅰ）当时，，所以，
此时，所以方程有唯一解，
即，此时切线方程为；
（ⅱ）当且时，，
当时，，则，
故函数单调递增，当时，函数单调递减，故，
故，同理可证，成立．
因为，则
.
又由当时，，可得，
则，
所以函数有两个零点，
即方程有两个根，，
即，此时，，则，
所以，
因为，，所以，所以直线不唯一．
综上所述，存在，使是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的．
22．（1）曲线（t为参数），化为直角坐标方程为，
再化为极坐标方程为，
直线的参数方程为（t为参数） ；
（2）将直线的参数方程代入曲线C，得，
所以，，
点P在之间，所以，
，
所以.
23．（1）函数图象如下图：
不等式的解集；
（2）.
（1），画出图象，如下图所示：
当时，；
当时，
当时，，所以
不等式的解集.
（2）当时，
当时，，显然成立；
当时，要想，只需即可，也就是
；
当时，要想，只需，
所以当时，当，的取值范围；
当时，，
当时，显然不成立；
当时，要想，只需不存在这样的；
当时，要想，只需，
所以当时，当，的取值范围是，
综上所述的取值范围.
