【数学】四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试（文）
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高二上学期开学考试（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的对角线交于点，若，，用、表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于( )
A． B． C． D．
4．下列结论正确的是（ ）
A．若直线，直线，则
B．若直线，则内的所有直线都与垂直
C．若直线不平行于，则内没有与平行的直线
D．若直线不垂直于，则内没有与垂直的直线
5．已知，则在数列的前40项中最大项和最小项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．设为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
7．如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是
A． B． C． D．
9．设，向量，，若，则 （ ）
A． B． C． D．5
10．设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是( )
A． B．
C． D．
11．如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为
A． B． C． D．
12．定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线的倾斜角为__________；
14．已知点、、，则△的面积是________.
15．已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是______.
16．在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
17．（10分）已知直线：，直线：．
（1）若直线与直线平行，求实数a的值；
（2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
18．（12分）如图，在中，已知点在边上，，，，.
（1）求的值；
（2）求的长.
19．（12分）过点作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.
（1）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程；
（2）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程.
20．（12分）如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
21．（12分）已知数列是一个公差大于零的等差数列，且，，数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（12分）已知函数， 且．
（1）当时，设集合，求集合；
（2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．C
13． 14． 15． 16．
17．解：已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．
Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，
两直线即直线：，直线：，
由求得，直线与的交点坐标为
18．解:(1)在中, , ，
所以 .同理可得, .
所以
.
(2)在中,由正弦定理得, .
又,所以.
在中,由余弦定理得,
.
19．(1)根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,
,
又(当且仅当,即时取等号),
,即,
的最小值为8,此时直线l的方程为;
(2)由(1)可知,
,则,
(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的方程为.
20．（Ⅰ）因为是中点，又因为平面，所以，由已知，所以是中点，所以，因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为平面，，所以平面，则，又因为平面，所以，则平面，由可得平面，因为 ，
此时，，
所以．
21．（1）依题意，设等差数列的公差为，则有
将②代入①得，即，∵，∴，.∴.
当时，，，
当时，，∴.
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，.
（2）∵，，①②
①－②，得
，∴.
22（1）由时，.
由得，即，解得，所以．
（2）由得，
所以，
所以可转化为：在上恒成立，解得，
所以实数的取值范围为．
（3）“对任意的，存在，使不等式恒成立”，等价于
“，时，”．
①当时，由题意可得函数为上的减函数，为上的增函数，
故等价于，即，不等式无解；
②当时，为上的增函数，为上的减函数，
故等价于，即，
解得．
综上可得．所以实数的取值范围为．
