【数学】黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高二上学期开学考试（文）
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高二上学期开学考试（文）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
- 直线的横截距是（ ）
A． B． C． D．
- 设,则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
- 若,则（ ）
A． B． C． D．
- 要得到函数的图象,只需将函数的图象（ ）
A.向左平移 个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
- 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
- 直线和圆的位置关系是( )
A．相离 B．不确定 C．相交 D．相切
- 设为两条不同的直线,为两个不重合平面,则下列结论正确的是（ ）
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
- 如图,在正方体中,,分别是中点,则异面直线与所成角大小为（ ）
A． B． C． D．
- 在正方体中,与直线垂直的平面是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
- 在中,角的对边分别为,若,则角B=（ ）
A． B． C． D．
- 若直线过点,则的最小值等于（ ）
A．2 B．6 C．12 D．
- 数列满足,,则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
- 已知向量,则_________.
- 已知直线与垂直,则实数_________.
- 如图所示,已知四棱锥的底面为正方形,且,,则四棱锥外接球的体积为_________.
在锐角中,角的对边分别为,已知且,则面积的取值范围为_________.
三．解答题：本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
函数的最小正周期为．
（I）求的值；
（II）当时,求的值域．
18．（本小题满分12分）
已知正项等差数列的前项和为,若,且成等比数列．
（I）求的通项公式及；
（II）记,求数列的前项和.
19．（本小题满分12分）
如图,在中,,,点在边上,且,.
（I）求；
（II）求的长.
20．（本小题满分12分）
如图,在直三棱柱中,点分别为线段的中点．
（I）求证：平面；
（II）若,,,求点到平 面的距离．
21.（本小题满分12分）
已知线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,是线段 的中点,且直线过定点.
（I）求点的轨迹方程,并说明它是什么图形；
（II）记（I）中求得的图形的圆心为：
（i）若直线与圆相切,求直线的方程；
（ii）若直线与圆交于,两点,求面积的最大值,并求此时直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数,前项和为,且满足.
（I）求；
（II）设,设数列的前项和为,若对一切 恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
一．选择题：1-12、DDABC CAABD DB
二．填空题：
13-16、 0或1
三．解答题：
17．解：（I）,,
,即．
（II）
在上单调递减,在上单调递增
,即,所以的值域为.
18．解：（I）设正项等差数列的公差为,则.
,即,,.
又成等比数列,,即,
解得或（舍去）,,
故的通项公式为,且．
（II）由（I）知,,且,
数列是以为首项,为公差的等差数列,
数列的前项和为.
19.解：（I）在中,因为,所以.
.
（II）在中,由正弦定理得.
在中,由余弦定理得
,所以.
20.解：（I）证明：连接,由四边形是平行四边形且为线段的中点知,为线段,又为的中点,,
又,平面；
（II）解：,
,,
又,.
设点到平面的距离为,则,
又,,．即点到平面的距离为.
21. 解：（I）设点,由的坐标是,且是线段的中点知,
点在圆上运动,点坐标满足圆的方程,
即,整理得.
这就是点的轨迹方程,它是以点为圆心,为半径的圆；
（II）（i）由（I）知点的轨迹方程是以点为圆心,为半径的圆：
①若直线的斜率不存在,则直线,符合题意；
②若直线的斜率存在,设直线,即,由直线与圆相切知,圆心到直线的距离等于半径,即,解得.此时.由①②知直线的方程为或.
（ii）若直线与圆相交于,两点,则直线的斜率一定存在且不为,设直线,即,则圆心到直线的距离.
又,当且仅当,即时,“=”成立,
时,有最大值为2,此时,解得,
故有最大值为2,此时直线的方程为或．
22.解：（I）当时,由知,
①-②得,整理得,由的各项均为正数知,从而,
是以为首项,为公差的等差数列,在①中令,解得.
.
（II）由（I）知,
,.
由知,数列单调递增,.
又,.
若对一切恒成立,则只需,解得,即实数的取值范围是.
