【数学】四川省棠湖中学2020-2021学年高二上学期开学考试（文）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简的值为
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
3．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
5．已知是边长为4的等边三角形，则的斜二测直观图的面积为
A． B． C． D．
6．设、、是三个不同平面，是一条直线，下列各组条件中可以推出的有
①， ②， ③， ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．在中，若，则是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知直线恒过定点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为
A． B．
C． D．
10．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
11．若，则的值为
A． B． C． D．
12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是
A．D1O∥平面A1BC1 B．MO⊥平面A1BC1
C．二面角M－AC－B等于90° D．异面直线BC1与AC所成的角等于60°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是____________.
14．求值：=_______
15．函数的最小正周期是______
16．中，，，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
17．（10分）化简或求值：
（1）；
（2）
18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.
（1）若点的横坐标为，求的值.
（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，求的值.
19．（12分）已知数列满足：.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求的取值范围．
21．（12分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，且，求多面体的体积.
22．（12分）已知，．
（1）若函数在为增函数，求实数的值；
（2）若函数为偶函数，对于任意，任意，使得成立，求的取值范围.
参考答案
1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 9．A 10．B 11．D 12．C
13． 14． 15． 16．3
17．（1）由实数指数幂的运算性质，可得原式=；
（2）由对数的运算性质，可得原式=
==.
18．（1）在单位圆上，且点的横坐标为，则，，
.
（2）由题知，则则.
19．（1）证明：设，则，
所以.
因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
即数列是等比数列.
（2）由（1）得，即.
所以.
则，
所以，
两式相减得，
所以，故.
20．（1）由题意得：，
即，又，；
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，
，即恒成立，
函数在上是减函数，
函数的最小值为，.即的取值范围为.
21．（1）取的中点，连接，因为是中点，
所以，且，又因为，，
所以，，即四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，因为是正三角形，所以，
因为平面平面，且交线为，所以平面，
因为，所以平面，所以，
故，，
因为是中点，所以点到平面的距离等于，
所以多面体的体积为：
.
22．（1）任取，则
函数在上为增函数，，则，
且，，
，，则，，
因此，实数的取值范围是；
（2）函数为偶函数，则，
即，即对任意的恒成立，
所以，解得，则，
由（1）知，函数在上为增函数，
当时，，
对于任意，任意，使得成立，
对于任意成立，
即（*）对于任意成立，
由对于任意成立，则，
，则，.
（*）式可化为，
即对于任意，成立，即成立，
即对于任意，成立，
因为，所以对于任意成立,
即任意成立，所以，
由得，所以的取值范围为.
