【数学】福建省霞浦第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考（文） 试卷
展开福建省霞浦第一中学2018-2019学年
高二上学期第二次月考（文）
（考试时间：120分钟； 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．等比数列中( )
A. 14 B. 31 C. 32 D. 63
2．已知锐角的面积为，，则角的大小为 ( )
A.75° B.60° B.45° D.30°
3．等差数列中，,则,的值分别是( )
A.12 ，120 B.14，120 C. 12，150 D.14，150
4．若表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ( )
A. B. C.或 D.
5．设集合，，那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
6．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值为( )
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是( )
A.命题“若，则”的逆否命题为：“若,则”
B.命题“若，则”的否命题为真命题
C.若为假命题，则、均为假命题
D.命题：使得, 则： 均有
8．已知方程，它们所表示的曲线可能是( )
A. B. C. D.
9．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
10．在△ABC 中，分别为角所对的边，若成等比，且，则等于( )
A． B． C． D．
11．是椭圆短轴的两个端点，过左焦点作轴的垂线交椭圆与点，是坐标原点，若、、成等比数列，则的值是 ( )
A. B. C. D.
12.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈，以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点B的椭圆的离心率为e2，则 ( )
A.当θ增大时，e1增大，e1·e2为定值
B.当θ增大时，e1减小，e1·e2为定值
C.当θ增大时，e1增大，e1·e2增大
D.当θ增大时，e1减小，e1·e2减小
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的横线上)
13．函数()的最小值是 .
14．抛物线的焦点坐标是 .
15．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
16．设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：
①若，则既是等差数列又是等比数列；
②若，则是等比数列；
③若，且满足， 则是等差数列。
这些命题中，真命题的序号是
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)
17．(本小题满分10分)已知数列是一个等差数列，且，.
（1）求的通项;
（2）求前n项和的最大值．
18．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135 .求BC的长.
19．（本小题满分12分）已知点A和B，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值是2
（1）求动点C的轨迹；
（2）动点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长。
20．(本小题满分12分) 已知命题p:恒成立；
命题q:关于x的方程有两正根；
若为真，为真，求的取值范围.
21．(本小题满分12分)某小型餐馆一天中要购买两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元。根据需要， 蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过元。
（1）写出一天中蔬菜购买的公斤数和蔬菜购买的公斤数之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），
（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？
22．（本小题满分12分）已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py (p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
（1）求抛物线G的方程；
（2）随着直线l的斜率变化时，设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1-12、CBBAB ACDDB DB
二、填空题：13.6 14. 15. 16. ②③
三、解答题：
17（1）设的公差为，由已知条件，，
解出， 所以．
（2）．所以时，取到最大值．
18.解：在△ABD中，设BD=x
则 即
整理得： 解之： （舍去）
由正弦定理： ∴
19.解：(1) 因为A、B是定点且
所以 动点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
，焦点在轴上
因此点C的轨迹方程是
（2）联立直线与双曲线的方程 消去y，得
设D（x1，y1）、E（x2,y2）,则
所以，，线段DE的长是
20.解：p真： Q真：
∵为真，为真，∴p假q真 ∴a的取值范围是
21.（本小题满分12分）
解：（1）依题意，蔬菜购买的公斤数和蔬菜购买
的公斤数之间的满足的不等式组如下：
画出的平面区域如右图.
(2) 设餐馆加工这两种蔬菜利润为，则目标函数为
表示过可行域内点斜率为的一组平行线在轴上的截距.
联立 解得 即
当直线过点时，在轴上的截距最大，即
答：餐馆应购买蔬菜公斤，蔬菜公斤，加工后利润最大为52元.
22. 解：(1)直线l的方程为x＝2y－4.
由，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴，又∵＝4，∴y2＝4y1，③
由①，②，③及p>0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为:y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.
∴b∈(2，＋∞)．
