【数学】福建省三明市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考（文） 试卷

福建省三明市第一中学2018-2019学年

高二上学期第二次月考（文）

（总分150分，时间：120分钟）

参考公式：① ， ；②

一、选择题：（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1．60与48的最大公约数为 （  ）

A．4   B．6   C．12   D．16

2．“函数在处有极值”是“”的（  ）

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件     

C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件

3．右侧的程序框图运行后输出S、n的值，则（  ）

A．6  B．11   C．13   D．15

4．已知命题，总有，则为（  ）

A．，使得        B．，使得   

C．，总有         D．，总有

5．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n的值为（  ）

A．100            B．150             C．200           D．250

6．若A、B为互斥事件，则（  ）

A．            B．  

C．            D．

7．在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（  ）

A．9.4，0.484                B．9.4，0.016    

C．9.5，0.04                 D．9.5，0.016

8．从1， 2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之差的绝对值为2的概率是（  ）

A.               B.                C.              D.

9．函数的单调递增区间是（  ）

A．        B．          C．      D．

10．已知F是抛物线的焦点，点P是抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（  ）

A．      B．     C．     D．

11．函数有（  ）

A．极大值5，极小值-27      B．极大值5，极小值-11       

C．极大值5，无极小值       D．极小值-27，无极大值

12．斜率为1的直线l与椭圆交于不同两点A、B，则的最大值为（  ）

A．2               B．            C．         D．

二、填空题：（每题5分，共20分）

13．数化为十进制数为          ．

14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点B、E，连成一条弦BE，则弦长超过圆内接正边长的概率是          ．

15．若，则双曲线的离心率的取值范围是          ．

16．已知函数的定义域为，，对，，则

的解集为           ．

三、解答题：（第17题10分，18~22题每题12分，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：不等式对任意的恒成立，若命题为真命题，为假命题，求实数k的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，统计得到1至6月份每月9号的昼夜温差与因患感冒而就诊的人数的数据，如下表：

该研究小组的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用之前被选取的2组数据进行检验.

（I）若选取1月和6月的数据作为检验数据，请根据剩下的2至5月的数据，求出y关于x的线性回归方程；（计算结果保留最简分数）

（II）若用（I）中所求的回归方程作预报，得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2人，则认为得到的回归方程是理想的，试问该研究小组所得回归方程是否理想？

19．（本小题满分12分）

某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中x的值及续驶里程在的车辆数；

（II）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，中，，.

（I）在边BC上任取一点M，求满足的概率；

（II）在的内部任作一条射线AM，与线段BC交于点M，求满足的概率．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，离心率为．

（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C与直线相交于不同的两点M、N，当时，求实数m的取值范围．

22. （本小题满分12分）

已知函数.

（I）若，求函数在处的切线方程；

（II）若函数在上为增函数，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题：5×12=60

二、填空题：4×5=20

13.  42   14.     15.     16.

三、解答题：（第17题10分,18~22题每题12分，共70分）

17. 解：

∵命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆

∴          ……2分

又命题q：不等式对任意的恒成立

∴，即或 ……4分

∵命题为真命题，为假命题

∴命题p、q中一真一假 ……5分

当p真q假时，，解得：；  ……7分

当p假q真时，，解得：； ……9分

综上述，实数k的取值范围是． ……10分

18. 解：

（I）由2至5月的数据有： ……4分

∴  ……5分

∴ ……6分                                   

∴回归直线方程为 ……7分

（II）当时， ……8分

∴ ……9分

当时，  ……10分

∴ ……11分

∴依题意，该研究小组所得的回归方程是理想的． ……12分

19. 解：

（I）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：

，解得： ……2分

∴续驶里程在的车辆数为：（辆）…4分

（II）设“恰有一辆车的续驶里程在内”为事件M  ……5分

由（I）知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，分别记为A、B、C，落在内的车辆数2辆，分别记为a、b                                                        ……7分

从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：，，，，，，，，，共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M包含的情况有：，，，，，共6种                                          ……10分

所以由古典概型概率公式有：，即恰有一辆车的续驶里程在内的概率为.              ……12分

20. 解：

（I）设“在边BC上任取一点M，满足”为事件E  ……1分

∵

∴在边BC上任取一点M，且满足的点M落在线段BD上即可   ……3分

又

∴  ……4分

∴由几何概型概率公式有 ……5分

∴在边BC上任取一点M，满足的概率为； ……6分

（II）设“在的内部任作一条射线AM，满足”为事件F……7分

∵

∴在的内部任作一射线AM，满足，只需在的内部作射线AM即可    ……8分

又

∴       ……9分

∴  ……10分

∴由几何概型概率公式有  ……11分

∴在的内部任作一条射线AM，满足的概率为 ……12分

21、解：

（I）∵椭圆C的焦点在x轴上

∴设椭圆C的方程为： ……1分

依题意有：，解得： ……3分

∴椭圆C的方程为：   ……4分

（II）设，则

由消y得：

又直线与椭圆有两不同交点

∴，即       ①

由韦达定理有：，

∴  ……6分

设M、N的中点为，则 ……7分

又

∴ ……8分

∴，化简得：       ②  ……9分

将②式代入①式得：，解得：  ……10分

又由②式有：，解得：  ……11分

综上述，实数m的取值范围是． ……12分

22. 解：

（I）当a＝1时，

∴f(1)＝－e－×12＋2×1＝－e ……2分

又f ′(x)＝－ex－x＋2

∴f ′(1)＝－e－1＋2＝1－e ……3分

∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(1－e)(x－1)

即所求切线方程为：(1－e)x－y＋ =0  ……5分

（II）∵函数在R上是增函数

∴f ′(x)≥0在R上恒成立 ……6分

∴－aex－x＋2≥0在R上恒成立，即a≤在R上恒成立  ……7分

令g(x)＝，则g′(x)＝

令g′(x)＝0，解得x＝3 ……8分

当x变化时，g(x)、g′(x)的变化情况如下表：

∴函数g(x)在x＝3处取得极小值，即g(x)min＝   ……10分

∴a≤ ……11分

∴实数a的取值范围是.  ……12分