【数学】福建省霞浦第一中学2018-2019学年高二上学期第一次月考（理）（B卷）
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高二上学期第一次月考（理）（B卷）
（考试时间：120分钟； 满分：150分）
说明：试卷分第I卷和第II卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，且, 则（ ）
A． B． C． D．
3. 在中，已知角则角A的值是（ ）
A．15° B．75° C．105° D．75°或15°
4.若，则△ABC为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形
5．在等比数列中表示前项的积，若=1，则（ ）
A． B． C． D．
6. 钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ）
A．1、2、3、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
7. 在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（ ）
A B C D
8．等差数列的第10项为23，第25项为，则数列前50项的绝对
值之和为 ( )
A．2942 B．3233 C．2038 D．2059
9．设是等差数列的前n项和，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．和均为的最大值
10.若关于x的不等式x2－4x－1－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－5，＋∞) D．(－∞，－5)
11.某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约（ ）年可以使总销售量达到30000台.（结果保留到个位）（参考数据）
A.3 B.4 C.5 D.6
12．在数列中，则,且，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题 (本大题共4小题，共20分)
13..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 6 | 0 | -4 | -6 | -6 | -4 | 0 | 6 |
则不等式ax2+bx+c>0的解集是__ __ __
14.已知成等比数列,且曲线的顶点是,则=
15．在平面直角坐标系中，不等式组（）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m的最大值是 .
16．如图，在四边形中，，，，
，，则 ．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．（本小题满分10分）设数列的前项n和为,且满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式。
（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.
18．（本小题满分12分）
已知实数满足不等式组
（Ⅰ）作出不等式组所表示的平面区域．
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）求的最小值；
19.（本小题满分12分）设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知数列满足：，且．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
如图，岛，相距海里，在岛的北偏东且距岛海里的处，有一客轮沿直线方向匀速开往岛，半小时后测得客轮到达岛的北偏东且距岛海里的处，同时岛上的小陈坐小艇以海里/小时的速度沿直线方向前往岛．
（Ⅰ）求客轮航行的速度；
（Ⅱ）小陈能否先于客轮到达岛？
22．（本小题满分12分）
已知数列中，，，．
（I）求数列的通项公式；
（II）求的最大值及此时的值；
（III）若，是否存在整数，使得对恒成立？若存在，求出的最大值；不存在，说明理由．
参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
二、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1、C 2、B 3、D 4、B 5、B 6、B 7、A 8、D 9、C 10、A 11、C 12、A
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题 (本大题共4小题，共20分)
13.
14. 2
15.
16．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17 解：（Ⅰ）对于任意的正整数都成立，
……………1分
两式相减，得∴，……………3分
即数列成公比为2的等比数列，……………4分
又当n=1, ……………5分
……………6分
……………8分
……………10分
……………12分
18．（本小题满分12分）
解:(Ⅰ)可行域如图所示：
……………………4分
（Ⅱ）令直线，则当直线过点（2，0）时，的纵截距取最小值，
此时取最大值，且最大值为4. …………8分
（Ⅲ）表示可行域内的点（）与原点O的距离. …………10分
过原点O作直线的垂线，易知垂足在可行域上，
所以所求的最小值为.…………12分
19.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由，根据正弦定理得，……………………1分
所以，……………………………………2分
由为锐角三角形得.……………………………………4分
（Ⅱ）=……………………………………5分
=.……………8分
由为锐角三角形知，
，.，……………9分
所以.……………10分
由此有，
所以，的取值范围为.……………12分
20．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）令，………………………………………………1分
则 …………………………………………2分
……… ………………………3分
………………………………………4分
∴数列为公差为的等差数列.
即数列是公差为的等差数列. ……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列为公差为的等差数列， ，
∴ ……………………………………………6分
∴． …………………………………………………………7分
∴，……………① …………………8分
∴，……………②……………………9分
①-②得， ……………………10分
∴
……………………………………11分
． ………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）∵，
∴，……………………………………3分
∴， …………………………………4分
∴数列是公差为的等差数列. ……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列是公差为的等差数列，
∴，
∴．……………………7分
以下同法一
21．（本小题满分12分）
解：如图，根据题意得：，，，.…………………1分
（Ⅰ）在中，
.……………………4分
所以轮船航行的速度（海里/小时）. ……………………6分
（Ⅱ）因为，所以，所以.
在中，，
整理得：，
解得或（不合舍去）. …………………8分
所以轮船从处到岛所用的时间小时，…………………9分
小陈到岛所用的时间小时. …………………10分
所以.
所以小陈能先于轮船到达岛. …………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，可得数列是首项为公比为的等比数列，………… 2分
所以 . ………………3分
（II）由已知可得：.………………4分
当时，；当时，，………………5分
所以当或时，取最大值，此时. ………………7分
（III），
由
，………………9分
得当时，；当时，，
即是数列的最小项，. ………………10分
又对恒成立，即，
所以，解得.
所以存在整数，使得对恒成立，此时的最大值为.………………12分
