【数学】海南省海口市第四中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷（解析版）

海南省海口市第四中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）若，且α为第四象限角，则tanα的值等于（    ）A.  B.  C.  D. 直线x+y-5=0的倾斜角为（　　）A.  B.  C.  D. 在等差数列{an}中，a4+a10=4，则前13项之和S13等于（　　）A. 26 B. 13 C. 52 D. 156若直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直．则a的值为（　　）A. 1 B.  C.  D. 已知直线3x+my-3=0与6x+4y+1=0互相平行，则它们之间的距离是（　　）A. 4 B.  C.  D. ​方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是（）A.  B.  C.  D. 若点(2a,a+1) 在圆 的内部，则a  的取值范围是 (    )A.  B.  C.  D. 在同一直角坐标系中，方程y=kx与y=-x+k所表示的图形可能是（　　）A.  B.
C.  D. 直线y=k（x-1）与A（3，2）、B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A.  B.
C.  D. 若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线x-y-1=0对称，则（　　）A. , B. , C. , D. ,函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　）A.  B.  C. 0 D. 若x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0，则x2+y2的最小值是（）A.  B.  C.  D. 无法确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为______ ．若三点A（3，1），B（-2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于______．已知向量=（1，2），=（2，-2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=______．已知函数f（x）在定义域[2-a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（-m2-）＞f（-m2+2m-2），则m的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）求以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程．






（本小题满分12分）求适合下列条件的直线方程：
经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍；
经过点且在两坐标轴上的截距相等；






（本小题满分12分）已知直线l的方程为2x-y+1=0
（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；
（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．





（本小题满分12分）​已知等比数列是递增数列，且，a2a4=4．(1)求数列的通项公式(2)若，求数列的前n项和Sn．






（本小题满分12分）​已知圆C经过两点A（3，3），B（4，2），且圆心C在直线上。（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线过点D（2，4），且与圆C相切，求直线的方程。






 22.（本小题满分12分）已知，满足．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求△ABC面积的最大值．







参考答案1.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．利用同角三角函数的基本关系式求出cosα是解题的关键，然后求解即可． 【解答】解：，则α为第四象限角，， 
． 
故选D．
2.【答案】D【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率的知识点，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围特殊角的三角函数值的求法，属于基础题.
先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．
【解答】
​解：由题意，直线的斜率为k=，即直线倾斜角的正切值是，
又倾斜角∈[0°，180°），因为tan150°=，
故直线的倾斜角为150°，
故选D．
3.【答案】A【解析】解：在等差数列{an}中，a4+a10=4，则前13项之和S13 ===26，
故选A．
由条件利用等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得前13项之和S13 ==，
运算求得结果．
本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
4.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直
∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0
∴（a-1）（a+2-2a-3）=0
∴（a-1）（a+1）=0
∴a=1，或a=-1
故选：C．
根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a的值
本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．
5.【答案】B【解析】解：∵直线3x+my-3=0与6x+4y+1=0互相平行，
∴直线3x+my-3=0可化为6x+4y-6=0，
∴两平行线之间的距离d==．
故选：B．
利用两条平行线与斜率截距之间的关系可得直线3x+my-3=0可化为6x+4y-6=0，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
本题考查了两条平行线与斜率截距之间的关系、两条平行线之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】D【解析】【分析】
根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件，得到关于a的一元二次不等式，整理成最简单的形式，解一元二次不等式得到a的范围，得到结果．
本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查一元二次不等式的解法，是一个比较简单的题目，这种题目可以单独作为一个选择或填空出现．
【解答】
解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,
∴a2+4a2-4（2a2+a-1）＞0,
∴3a2+4a-4＜0，
∴（a+2）（3a-2）＜0，
∴
故选D．
7.【答案】A【解析】【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据题意可得，解不等式即可求得结果.【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为，∵点在圆的内部，∴，解得-1<a<1，即实数a的取值范围为（-1，1）.故选A.
8.【答案】C【解析】解：在同一直角坐标系中，方程y=kx表示的直线过原点，斜率为k；
直线y=-x+k，斜率为-1，过（0，k）点．
当k＞0可知：y=kx过原点，是增函数；
y=-x+k是减函数，在y轴上的截距为正，故选项C正确．
4个函数的图象没有正确选项；
当k＜0时，y=kx过原点，是减函数；
y=-x+k是减函数，在y轴上的截距为负，4个函数的图象没有正确选项．
故选：C．
通过讨论k的符号，判断函数的图象即可．
本题考查直线方程的应用，函数的图象的求法，考查计算能力．
9.【答案】D【解析】【分析】
本题考查直线的斜率，直线的点斜式方程，属于基础题.
易得直线y=k（x-1）过定点C（1，0），再求它与两点A（3，2），B（0，1）的斜率，即可得到k的取值范围．
【解答】解：易得直线y=k（x-1）过定点C（1，0），
而kAC==1，kBC==-1，
故k的范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）.
故选D.
10.【答案】D【解析】【分析】
本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、中点坐标公式、互相垂直的直线的斜率关系等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程求解即得．
【解答】
解：由
解得，
故选D．
11.【答案】B【解析】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），
∵f（x+）为偶函数，
∴+φ=kπ+，
∴φ=kπ+，k∈Z，
∴当k=0时，φ=．
故φ的一个可能的值为．
故选：B．
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
12.【答案】C【解析】【分析】
此题考查学生会把圆的一般方程化为圆的标准方程并会由圆的标准方程找出圆心坐标与半径，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．
​把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为（x，y），原点坐标为（0，0），则x2+y2表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为x2+y2的最小值．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：
（x-1）2+（y+2）2=25，则圆心A坐标为（1，-2），圆的半径r=5，
设圆上一点的坐标为（x，y），原点O坐标为（0，0），
则|AO|=，|AB|=r=5，
所以|BO|=|AB|-|OA|=5-．
则x2+y2的最小值为（5-）2=30-10．
故选C．
13.【答案】x-y+2=0【解析】解：直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为：1，
在y轴上的截距为2，
所求的直线方程为：y=x+2．
故答案为：x-y+2=0．
求出直线的斜率，利用斜截式方程求解即可．
本题考查直线方程的求法，基本知识的考查．
14.【答案】-9【解析】【分析】
本题考查了三点共线与斜率的关系，属于基础题．
三点A（3，1），B（-2，b），C（8，11）在同一直线上，可得kAB=kAC，利用斜率计算公式即可得出．
​【解答】
解：∵三点A（3，1），B（-2，b），C（8，11）在同一直线上，
∴kAB=kAC，
∴，
即，化为b-1=-10．
解得b=-9．
故答案为-9．
15.【答案】【解析】解：∵向量=（1，2），=（2，-2），
∴=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2+），
∴，
解得λ=．
故答案为：．
利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．
​根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．
​【解答】
解：因为函数f（x）在定义域[2-a，3]上是偶函数，
所以2-a+3=0，所以a=5．
所以f（-m2-）＞f（-m2+2m-2），
即f（-m2-1）＞f（-m2+2m-2），
所以偶函数f（x）在[-3，0]上单调递增，
而-m2-1＜0，-m2+2m-2=-（m-1）2-1＜0，
所以由f（-m2-1）＞f（-m2+2m-2）得，
解得．
故答案为​．
17.【答案】（2）设以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB
外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∴，
解得D=-2，E=-4，F=0，
∴三角形OAB外接圆的方程为x2+y2-2x-4y=0．【解析】设以O（0，0），A（2，0），B（0，4）为顶点的三角形OAB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，分别把点O，A，B代入，能求出三角形OAB外接圆的方程．
18.【答案】解：（1）假设的倾斜角是，那么有tan=，=设过A点直线的倾斜角是，那么=，那么所求直线的斜率k=tan=tan=，∴直线方程是：y+3=（x+1），即：直线方程为
（2）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（3，2），
∴直线方程为y=x；
当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，
把P（3，2）代入，解得a=5，
∴所求的直线方程为：x+y-5=0．
综上：过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-3y=0或x+y-5=0．【解析】本题考查了直线斜率的定义，直线的点斜式方程以及截距式方程
19.【答案】解：（Ⅰ）设与直线l：2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，
把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m=0，解得m=-7．
∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y-7=0；
（Ⅱ）设与直线l：2x-y+1=0平行的直线l2的方程为：2x-y+c=0，
∵点P（3，0）到直线l2的距离为．
∴=，
解得c=-1或-11．
∴直线l2方程为：2x-y-1=0或2x-y-11=0．【解析】​本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（Ⅰ）设与直线l：2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入解得m即可；
（Ⅱ）设与直线l：2x-y+1=0平行的直线l2的方程为：2x-y+c=0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为．可得=，解得c即可得出．
20.【答案】解：（1）由{an}是递增等比数列，a1+a5=，a2a4=4=a32=4
∴a1+a1q4=，；
解得：a1=，q=2；
∴数列{an}的通项公式：an=2n-2；
（2）由bn=nan（n∈N*），
∴bn=n•2n-2；
∴S1=；
那么Sn=1×2-1+2×20+3×21+……+n•2n-2，①
则2Sn=1×20+2×21+3×22+……+（n-1）2n-2+n•2n-1，②
将②-①得：Sn=+n•2n-1；
即：Sn=-（2-1+20+2+22+2n-2）+n•2n-1=+n•2n-1．【解析】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．
属于中档题.
（1）根据{an}是递增等比数列，a1+a5=，a2a4=4．即可求解数列{an}的通项公式
（2）由bn=nan（n∈N*），可得数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和Sn．
21.【答案】解：（1）因为圆经过两点A（3，3），B（4，2），圆心在AB的垂直平分线上
AB的中点坐标为 AB直线的斜率，所以AB直线的垂直平分线斜率为1.所以圆心在直线上，由得即圆心C的坐标为（3，2），半径r=|BC|=1,故圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，即为x=2,此时验证知l与圆C相切，当直线的斜率存在时，设方程为y-4=k(x-2),因为直线与圆C相切，则圆心到直线的距离为,解得，故l为,即为3x+4y-22=0.综上直线l的方程为x=2或3x+4y-22=0.【解析】本题主要考查了圆的方程，直线与圆的位置关系.（1）根据题意求出圆心和半径即可得到圆的方程；（2）根据已知设出直线方程，讨论斜率存在和不存在两种情况，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．
22.【答案】解：（1）∵=，所以．
令，得，故f（x）的单调递增区间是．
（2）∵，∴，又，∴，∴．
在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc，
可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴，
即△ABC面积的最大值为．【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．
（1）利用两个向量的数量积公式及三角函数的恒等变换，根据求得，令，求得x的范围，即可求出f（x）的单调递增区间．
（2）由求得，在△ABC中由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再由求出它的最大值．