2019年河北省保定市定州市中考数学二模试卷


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2019年河北省保定市定州市中考数学二模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. 的倒数是　　
A. B. C. D.
2. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有万，请将“万”用科学记数法表示为　　
A. B.
C. D.
3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是　　

A.
B.
C.
D.
4. 下列各运算中，计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
5. 若y=-x+3，且x≠y，则+的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. D. -
6. 如图，直线，，为直角，则等于　　

A. B. C. D.
7. 数学课上，小明进行了如下的尺规作图如图所示：
在△AOB(OA​<​OB)​边、上分别截取、，使得；
分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于内的一点；
作射线交边于点．
那么小明所求作的线段是的　　

A. 一条中线
B. 一条高
C. 一条角平分线
D. 不确定
8. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示：
成绩






人数






则这些运动员成绩的中位数、众数分别为．
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是　　

A.
B.
C. 或
D. 或
10. 如图，点、分别是正五边形的两边、上的点．且，点是正五边形的中心，则的度数是．

A． 度 B． 度 C． 度 D． 度
11. 某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球已知购买足球数量是篮球的倍，购买足球用了元，购买篮球用了元，篮球单价比足球贵元若可列方程表示题中的等量关系，则方程中表示的是　　
A. 足球的单价
B. 篮球的单价
C. 足球的数量
D. 篮球的数量
12. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是　　
A. B. C. D. 或
13. 如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM交BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积为　　

A. B. C. D.
15. 如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平；再一次折叠，使点落到上点处，并使折痕经过点，展平纸片后的大小为　　

A. B. C. D.
16. 如图，在等腰中，，，点从点出发，以的速度沿方向运动到点停止，同时点从点出发，以的速度沿方向运动到点停止，若的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是．

A．
B．
C．
D．

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. 因式分解：-3x3+3x=______．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点 E．若点B（6，3），四边形ODBE的面积为12，则k的值为______．

19. 如图，点A的坐标为（2，0），过点A作x轴的垂线交直线l：y=x于点B，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交x轴正半轴于点A，则点A的坐标为______；再过点A作x轴的垂线交直线l于点B，以原点O为圆心，以OB的长为半径画弧交x轴正半轴于点A；…．按此作法进行下去，则​​A2019​B2018​的长是______．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. 已知：（x+1）-x（　　）=x+1
（1）请计算（______）内应该填写的式子；
（2）若（______）代数式的值为3，求x的值．
21. 某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度（结果精确到1米，参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，≈1.41）

22. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．

请结合图中所给信息解答下列问题：
本次共调查______名学生；扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是______；
补全条形统计图；
该校共有名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？
通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．
23. 如图所示，是的一条弦，切于点，过点作于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．

24. 都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2：1．
运行区间
票价
起点站
终点站
一等座
二等座
都匀
桂林
95（元）
60（元）
（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人?
（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张（x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的方案下，请求出当x=30时，购买单程火车票的总费用．
25. （1）问题发现
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在边AB、AC上，请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系；
（2）拓展探究
如图2，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转个锐角θ时，上述结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图3，在（2）的条件下，延长BD交直线CF于点G．当AB=3，AD=，θ=45°时，直接写出线段BG的长．

26. 如图1，已知抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
① 求S关于t的函数表达式；
② 求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
利用倒数的定义，直接得出结果．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是负数的倒数还是负数．
倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
2. 【答案】B
【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 【答案】A
【解析】解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 【答案】D
【解析】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意．
故选
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 【答案】A
【解析】解：由y=-x+3，得到x+y=3，
则原式=-===x+y=3，
故选：A．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6. 【答案】B
【解析】解：
过作，
，
，
，，
，为直角，
，，
，
故选：．
过作，求出，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
7. 【答案】C
【解析】解：利用作法可判断平分，
所以为的角平分线．
故选：．
利用基本作图可判定射线平分，从而可判断为的角平分线．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8. 【答案】A
【解析】解：共名学生，中位数落在第名学生处，第名学生的跳高成绩为 ，故中位数为；
跳高成绩为 的人数最多，故跳高成绩的众数为；
故选
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
9. 【答案】D
【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或．
故选：．
利用以原点为位似中心，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，把点的横纵坐标分别乘以或即可得到点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
10. 【答案】C
【解析】解：连接、、，
，
，，，
，
在和中，


，
．
故选
连接、、，根据正多边形的中心角的计算公式求出，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

11. 【答案】D
【解析】解：设篮球的数量为个，足球的数量是个根据题意可得：，
故选：．
设篮球的数量为个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可．
此题主要考查了分式方程的应用；得到相应的关系式是解决本题的关键．
12. 【答案】A
【解析】解：，
，
，，
，，
等腰三角形的三边是，，
，
不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
等腰三角形的三边是，，，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；
即等腰三角形的周长是．
故选：．
求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
13. 【答案】C
【解析】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD，
∵ AM=BM，
∴ ===，
∴ S=2S，S=2S，
∵ S=1，
∴ S=S=2，
∴ S=2+2=4，
故选：C．
由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，由AM=BM，推出===，可得S=2S，S=2S，由此即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14. 【答案】A
【解析】解：，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
先证得是等腰直角三角形，然后根据即可求得．
本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15. 【答案】C
【解析】解：如图所示：由题意可得：，，，
则，故A，
则，
，
，
，
．
故选：．
直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出是解题关键．

16. 【答案】D
【解析】解：作于，
，
，
，
，，
，
点运动的速度为，点运动的速度为，
点从点运动到需，点运动到需，
当时，作于，如图，，，
在中，，
，
当时，作于，如图2，，
在中，，
，
综上所述，
故选
作于，根据等腰三角形的性质得，利用可计算出，，则，利用速度公式可得点从点运动到需，点运动到需，然后分类讨论：当时，作于，如图1，，，，利用三角形面积公式得到；当时，作于，如图，，，，利用三角形面积公式得，于是可得时，函数图象为抛物线的一部分，当时，函数图象为线段，则易得答案为．
本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．


二、 填空题
17. 【答案】-3x（x+1）（x-1）
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=-3x（x2-1）=-3x（x+1）（x-1），
故答案为：-3x（x+1）（x-1）.
18. 【答案】6
【解析】解：∵ 四边形OCBA是矩形，B（6，3），
∴ S=6×3=18，
∵ S=S-S-S=12．
∴ 18-|k|-|k|=12，
∴ |k|=6，
∵ 在第一象限，
∴ k=6．
故答案为6．
根据点B的坐标求得解析式OABC的面积，根据S=S-S-S=12即可求出反比例函数的比例系数．
此题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，根据S=S-S-S=12列出方程是解题的关键．
19. 【答案】（4，0）
【解析】解：直线y=x，点A坐标为（2，0），过点A作x轴的垂线交直线于点B可知B点的坐标为（2，2），
以原O为圆心，OB长为半径画弧x轴于点A，OA=OB，
OA==4，点A的坐标为（4，0），
这种方法可求得B的坐标为（4，4），故点A的坐标为（8，0），B（8，8）
以此类推便可求出点A的坐标为（2，0），
则​​A2019​B2018​的长是=．
故答案为：．
先根据一次函数方程式求出B点的坐标，再根据B点的坐标求出A点的坐标，得出B的坐标，以此类推总结规律便可求出点A的坐标，再根据弧长公式计算即可求解．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．
三、 解答题
20. 【答案】2x+2 2x+2
【解析】解：（1）（x+1）-x（2x+2）=x+1；
（2）当2x+2=3时，x=．
故答案为：（1）2x+2；（2）2x+2
根据已知等式确定出（　　）内的式子，进而确定出x的值即可．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21. 【答案】解：如图，记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE．
由题意知，∠ DAB=45°，∠ DCB=33°，
设AD=x米，则BD=x米，CD=（20+x）米，
在Rt△CDB中，=tan∠ DCB，
∴ ≈0.65，
解得x≈37．
答：这段河的宽约为37米．

【解析】
记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE，设AD=x米，则BD=x米，CD=（20+x）米，在Rt△CDB中利用三角函数即可列方程求解．
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
22. 【答案】；
【解析】解：本次调查的学生总人数为人，扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：、；

类型人数为，
则类型人数为，
补全条形图如下：


估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有名；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为，
所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为．
由的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以人数所占比例即可得；
总人数乘以的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得的人数，据此补全图形即可得；
用总人数乘以样本中类型的百分比可得；
画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．
本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
23. 【答案】答案见解析
【解析】解（1）证明：，
，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），，
，
为切线，
，
，
，
．
（1）欲证明，只要证明即可；
（2）因为是等腰三角形，属于只要求出即可解决问题；
本题考查圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 【答案】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
根据题意得：，
解得：，
则2m=10．
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有5、10与50人．

（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人，
① 当50≤x＜65时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共50张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票．
∴ 火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x），
即y=-35x+5425（50≤x＜65）；
② 当0＜x＜50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（65-x）张．
∴ 火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=60×0.75x+95（65-x），
即y=-50x+6175（0＜x＜50）
∴ 购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式为：y=．

（3）∵ x=30＜50，
∴ y=-50x+6175=-50×30+6175=4675，
答：当x=30时，购买单程火车票的总费用为4675元．
【解析】
（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）有两种情况：① 当50≤x＜65时，学生都买学生票共50张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x）；② 当0＜x＜50时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（65-x）张，得到解析式是y=-50x+6175；
（3）由（2）小题知：当x=30时，y=-50x+6175，代入求解即可求得答案．
此题考查了一次函数的实际应用．解决本题的关键是分段函数的运用，函数的最值．考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
25. 【答案】解：（1）BD=CF，BD⊥CF，理由如下：
∵ △ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴ AB=AC，AD=AF，∠ BAC=∠ DAF=90°，
∴ BD=CF，BD⊥CF；
（2）成立，理由如下：
∵ △ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴ AB=AC，AD=AF，∠ BAC=∠ DAF=90°，
∵ ∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC，∠ CAF=∠ DAF-∠ DAC，
∴ ∠ BAD=∠ CAF，
在△BAD与△CAF中，
，
∴ △BAD≌△CAF（SAS），
∴ BD=CF，
延长BD，分别交直线AC、CF于点M，G，如图2，
∵ △BAD≌△CAF，
∴ ∠ ABM=∠ GCM，
∵ ∠ BMA=∠ CMG，
∴ ∠ BGC=∠ BAC=90°，
∴ BD⊥CF；
（3）由旋转和正方形的性质可得：当θ=45°时，点E恰好落在AC上，
∵ AD=，
∴ AE=2，
设BG交AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图3，则AN=FN=AE=1，
∵ 在等腰直角三角形ABC中，AB=3，
∴ CN=AC-AN=2，BC=，
在Rt△FCN中，tan∠ FCN=，
∴ 在Rt△ABM中，tan∠ ABM=，
∴ AM=，
CM=AC-AM=，BM=，
∵ △BMA∽△CMG，
∴ ，
∴ ，
∴ CG=，
∴ 在Rt△BGC中，BG=．
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可；
（2）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF，进而证明出BD⊥CF；
（3）根据正方形的性质和旋转的性质利用相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
26. 【答案】解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x+bx+c，
，解得：，
∴ 抛物线的表达式为y=-x+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵ 抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1．
当x=0时，y=-x+2x+3=3，
∴ 点C的坐标为（0，3）．
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，DE=ME，
∵ 点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，
∴ 点P的横坐标t=1×2-0=2，
∴ 点P的坐标为（2，3），
∴ 点E的坐标为（1，3），
∴ 点M的坐标为（1，6）．
故在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为（1，6）．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
，解得：，
∴ 直线BC的解析式为y=-x+3．
∵ 点P的坐标为（t，-t+2t+3），
∴ 点F的坐标为（t，-t+3），
∴ PF=-t+2t+3-（-t+3）=-t+3t，
∴ S=PF•OB=-t+t=-（t-）+．
② ∵ -＜0，
∴ 当t=时，S取最大值，最大值为．
∵ 点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴ 线段BC==3，
∴ P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．


【解析】
（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，利用平行四边形对角线互相平分可得出点P、E的坐标，进而可得出点M的坐标；
（3）① 过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
② 利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）利用平行四边形的对角线互相平分找出点E的坐标；（3）① 利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；② 利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．