2021年陕西省西安市中考数学六模试卷

这是一份2021年陕西省西安市中考数学六模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）（﹣2）﹣1的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣D．
2．（3分）2021年第一季度我省地区生产总值达到6352.79亿元，同比增长了15.4%，则6352.79亿用科学记数法表示为（ ）
A．6352.79×108B．0.635279×1011
C．6.35279×1011D．6.35279×1012
3．（3分）为备战第十四届全运会，跳高教练组对四位备选运动员正式比赛前的几次成绩进行了如表分析：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点落在直线a上，点C落在直线b上，且直线b恰好平分∠ACB．若∠B＝20°，则∠1的大小为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2
C．（x﹣2）2＝x2﹣4x﹣4D．x2y3÷（x）＝2x3y3
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，BC边的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则AE长为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．（3分）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（ ）
A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝﹣2x+2D．y＝﹣2x﹣2
8．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，AB＝6，BC＝8，过点O作两条互相垂直的直线，分别交AB、CD于点E、点F，交AD、BC于点G、点H，当BE＝2时，AG长为（ ）
A．3B．C．D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，当点C平分时，∠ODB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
10．（3分）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣
二、填空（共4小题，每题3分，计12分）
11．（3分）在下列各数，π，﹣1，0.1212中，无理数是 ．
12．（3分）如图，将一个正五边形ABCDE与一个正方形CDFG拼接在一起，连接BG、EF，则∠BGC的度数为 ．
13．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，若△AOB的面积为4，则k值为 ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，E、F分别为AO、DO上两点，且2AE＝DF，连接BE、CF，则△ABE与△DCF的面积比为 ．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：
．
16．（5分）先化简，再求值：
，其中x＝﹣2．
17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规过在BC边上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，四边形ABCD中，点E、点F分别在AB、CD上，且AE＝CF，分别过点A、C向EF作垂线，垂足分别为点G、点H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．
19．（7分）运算能力是数学能力的重要组成部分．为提高学生运算能力，我校八年级开展了“打卡二十一天，运算大比拼”的竞赛活动．现从八年级（1）、（2）两个班（各班均为60人）各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据
1班：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77
2班：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有多少人？
（3）你认为哪个班级的学生运算能力的总体水平较好，请说明理由．
20．（7分）小明家对面公园的小山上有一座信号塔CD．小明想利用所学的知识测量信号塔CD的高度，于是，他站在山坡下的点A处仰望塔顶D，测得仰角∠DAB为45°，小明沿山坡向上爬了130米后，到达了山顶E，再在点E处仰望塔顶D，测得仰角∠DEC为60°．已知这段山坡的坡度为5：12，小明的眼睛到站立地面的距离忽略不计，请帮助小明计算信号塔CD的高度．（结果保留根号）
21．（7分）赛格某品牌服装店经市场调查发现：某件衣服的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、周销售量y（件）、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求该衣服的进价，及当售价为85元时的周销售利润．
22．（7分）《开门大吉》是中央电视台综艺频道推出的益智游戏类综艺节目．已知某选手参加《开门大吉》时，场上还剩五扇门未打开，分别对应A，B，C，D，E五首曲子．
（1）该选手选中曲子D的概率是 ；
（2）若该选手可同时选择两扇门，请用画树状图或列表格的方法，求出该选手同时选中C，D两首曲子的概率．
23．（8分）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1．连接CE，DE．以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G，连接GF．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求GE的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
25．（12分）【问题提出】
（1）如图①，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°且点D恰在BC边上，连接CE，则∠ACE的大小为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是其内部一点，连接AP、BP、CP，当∠APB＝90°，∠BPC＝135°时，试探究AP、BP、CP之间的数量关系，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图③，有一个圆心角为120°、半径为20米的扇形舞台AOB．现要在OA、OB边上确定两点C、D，使得OC＝OD，并在CD之间拉上幕布．为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧AB上找一点P来安装一照明角为60°（即∠CPD＝60°）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布．要使幕布CD长最短，则OC长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积（即△PCD的面积）．
2021年中考数学六模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（﹣2）﹣1的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣D．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝﹣．
故选：C．
2．（3分）2021年第一季度我省地区生产总值达到6352.79亿元，同比增长了15.4%，则6352.79亿用科学记数法表示为（ ）
A．6352.79×108B．0.635279×1011
C．6.35279×1011D．6.35279×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6352.79亿＝635279000000＝6.35279×1011．
故选：C．
3．（3分）为备战第十四届全运会，跳高教练组对四位备选运动员正式比赛前的几次成绩进行了如表分析：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】先根据平均数的大小可选择甲、乙运动员，然后根据方差的意义选择甲运动员．
【解答】解：因为甲、乙的平均数高于丙、丁的平均数，
但是甲的方差比乙的方差小，
所以甲的成绩比较稳定，
所以选择甲运动员参加比赛．
故选：A．
4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点落在直线a上，点C落在直线b上，且直线b恰好平分∠ACB．若∠B＝20°，则∠1的大小为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠2，根据平行线的性质求出∠3，再根据平角的定义求出∠1即可．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，∠B＝20°，
∴∠ACB＝70°，
∵直线b恰好平分∠ACB，
∴∠2＝35°，
∵a∥b，
∴∠3＝35°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2
C．（x﹣2）2＝x2﹣4x﹣4D．x2y3÷（x）＝2x3y3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝b2﹣a2，符合题意；
C、原式＝x2﹣4x+4，不符合题意；
D、原式＝2xy3，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，BC边的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则AE长为（ ）
A．2B．3C．D．4
【分析】连接EB，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据等腰直角三角形的性质求出EC，根据三角形的外角性质求出∠AEB＝90°，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：连接EB，
∵ED是BC边的垂直平分线，
∴EB＝EC，BD＝DC＝BC＝1，
∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△EDC中，∠C＝45°，
∴EC＝，
∴EB＝，
在Rt△AEB中，∠A＝30°，
∴AE＝＝＝，
故选：C．
7．（3分）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（ ）
A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝﹣2x+2D．y＝﹣2x﹣2
【分析】求得点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4）平移后的对应点，然后根据题意得到a+2+a﹣2＝0，求得a＝0，即可求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【解答】解：将直线l向上平移2个单位后经过原点，则点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4）平移后对应的点的坐标为（﹣1，a+2）和（1，a﹣2），
∵将直线l向上平移2个单位后经过原点，
∴点（﹣1，a+2）和点（1，a﹣2）关于原点对称，
∴a+2+a﹣2＝0，
∴a＝0，
∴A（﹣1，0），B（1，﹣4），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
故选：D．
8．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，AB＝6，BC＝8，过点O作两条互相垂直的直线，分别交AB、CD于点E、点F，交AD、BC于点G、点H，当BE＝2时，AG长为（ ）
A．3B．C．D．
【分析】由“ASA”可证△BOE≌△DOF，可得EO＝FO，BE＝DF＝2，可证四边形EHFG是菱形，可得EG＝GF，由勾股定理可列关于AG的方程，即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，EG，GF，HF，EH，
∵点O是矩形ABCD的中心，
∴AB＝CD＝6，∠A＝90°，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，BE＝DF＝2，
同理可证GO＝HO，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EHFG是菱形，
∴EG＝GF，
∵EG2＝AE2+AG2，GF2＝GD2+DF2，
∴16+AG2＝（8﹣AG）2+4，
∴AG＝，
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，当点C平分时，∠ODB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】作直径DE，连接BE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到＝，根据圆周角定理得到∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：作直径DE，连接BE，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠CBD＝35°，＝，
∵点C平分，
∴＝，
∴∠BED＝70°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠ODB＝90°﹣70°＝20°，
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：C．
二、填空（共4小题，每题3分，计12分）
11．（3分）在下列各数，π，﹣1，0.1212中，无理数是 π，﹣1 ．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：，0.1212是有理数；π，﹣1是无理数．
故答案为：π，﹣1．
12．（3分）如图，将一个正五边形ABCDE与一个正方形CDFG拼接在一起，连接BG、EF，则∠BGC的度数为 9° ．
【分析】由周角的定义求出∠BCG，再根据等腰三角形的两底角相等求解即可．
【解答】解：∵∠BCD＝＝108°，∠GCD＝＝90°，
∴∠BCG＝360°﹣∠BCD﹣∠GCD＝360°﹣108°﹣90°＝162°，
∵BC＝CG，
∴∠BGC＝∠GBC＝＝9°，
故答案为：9°．
13．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，若△AOB的面积为4，则k值为 ﹣3 ．
【分析】如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于C点，则C（0，2），设A（a，﹣a+2），B（b，﹣b+2），利用a、b为方程﹣x+2＝的解得到a+b＝2，则B（2﹣a，a），利用三角形面积公式得到×2×（﹣a）+×2×（2﹣a）＝4，解方程得到A（﹣1，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：如图，直线y＝﹣x+2与y轴交于C点，则C（0，2），
设A（a，﹣a+2），B（b，﹣b+2），
∵a、b为方程﹣x+2＝的解，
方程整理为x2﹣2x+k＝0，
∴a+b＝2，
∴b＝2﹣a，
∴B（2﹣a，a），
∵S△AOC+S△BOC＝S△AOB，
∴×2×（﹣a）+×2×（2﹣a）＝4，解得a＝﹣1，
∴A（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3．
故答案为﹣3．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，E、F分别为AO、DO上两点，且2AE＝DF，连接BE、CF，则△ABE与△DCF的面积比为 ．
【分析】过点B作BM⊥AC，CN⊥BD于点M，N，证明△MOB∽△NOC，可得BM：CN＝OB：OC＝4：3，根据三角形的面积即可得△ABE与△DCF的面积比为．
【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC，CN⊥BD于点M，N，
∵∠MOB＝∠NOC，∠BMO＝∠CNO＝90°，
∴△MOB∽△NOC，
∴BM：CN＝OB：OC＝4：3，
∴BM＝CN，
∵S△ABE＝AE•BM＝AE×CN＝AE•CN，
S△DCF＝DF•CN＝2AE•CN＝AE•CN，
∴＝，
则△ABE与△DCF的面积比为．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：
．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣
＝﹣．
16．（5分）先化简，再求值：
，其中x＝﹣2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣．
17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规过在BC边上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作∠BAC的平分线交BC于D，根据角平分线的性质得到D点到AB和AC的距离相等，利用三角形面积公式得到．
【解答】解：如图，点D为所作．
18．（5分）如图，四边形ABCD中，点E、点F分别在AB、CD上，且AE＝CF，分别过点A、C向EF作垂线，垂足分别为点G、点H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．
【分析】证明Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），推出∠AEG＝∠CFH，可得结论．
【解答】证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，
∴∠G＝∠H＝90°，
在Rt△AGE和Rt△CHF中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），
∴∠AEG＝∠CFH，
∵∠AEG＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠CFH，
∴AB∥CD．
19．（7分）运算能力是数学能力的重要组成部分．为提高学生运算能力，我校八年级开展了“打卡二十一天，运算大比拼”的竞赛活动．现从八年级（1）、（2）两个班（各班均为60人）各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据
1班：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77
2班：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ 11 ，b＝ 10 ，c＝ 78 ，d＝ 81 ．
（2）估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有多少人？
（3）你认为哪个班级的学生运算能力的总体水平较好，请说明理由．
【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）求出90分以上的所占得百分比即可；
（3）根据中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）由题意知a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，b＝20﹣1﹣7﹣2＝10，
八年级（1）班20名学生的分数排序为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94．
∴中位数c＝＝78，
八年级（2）班成绩81分的有3个，
∴八年级（2）班成绩的众数d＝81，
故答案为：11，10，78，81；
（2）60×2×＝9（人），
答：估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有9人；
（3）八年级（2）班的学生运算能力的总体水平较好，
因为两个班级学生的平均数相等，而八年级（2）班的中位数大于八年级（1）班的中位数，
所以八年级（2）班的学生运算能力的总体水平较好．
20．（7分）小明家对面公园的小山上有一座信号塔CD．小明想利用所学的知识测量信号塔CD的高度，于是，他站在山坡下的点A处仰望塔顶D，测得仰角∠DAB为45°，小明沿山坡向上爬了130米后，到达了山顶E，再在点E处仰望塔顶D，测得仰角∠DEC为60°．已知这段山坡的坡度为5：12，小明的眼睛到站立地面的距离忽略不计，请帮助小明计算信号塔CD的高度．（结果保留根号）
【分析】过E作EM⊥AB于M，延长DF交AB于N，则DN⊥AB，FN＝EM，EF＝MN，先证△ADN是等腰直角三角形，得AN＝DN，再由坡度的定义求出FN＝EM＝50（米），AM＝120（米），然后由含30°角的直角三角形的性质得DF＝EF，设MN＝EF＝x米，则DF＝x米，由AN＝DN得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，过E作EM⊥AB于M，延长DF交AB于N，
则DN⊥AB，FN＝EM，EF＝MN，
∵∠DAB＝45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，
∵山坡AE的坡度为5：12，AE＝130米，
∴FN＝EM＝AE＝50（米），AM＝AE＝120（米），
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DF＝EF，
设MN＝EF＝x米，则DF＝x米，
∵AN＝AM+MN，DN＝DF+FN，
∴120+x＝x+50，
解得：x＝35+35，
∴DF＝（35+35）＝（105+35）米，
即信号塔CD的高度为（105+35）米．
21．（7分）赛格某品牌服装店经市场调查发现：某件衣服的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、周销售量y（件）、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求该衣服的进价，及当售价为85元时的周销售利润．
【分析】（1）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；
（2）根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，解得，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
（2）进价为70﹣（1800÷60）＝40元每件，
所以当售价为85元时的周销售利润为：（﹣2x+200）（x﹣40）＝（﹣2×85+200）（85﹣40）＝30×45＝1350元．
22．（7分）《开门大吉》是中央电视台综艺频道推出的益智游戏类综艺节目．已知某选手参加《开门大吉》时，场上还剩五扇门未打开，分别对应A，B，C，D，E五首曲子．
（1）该选手选中曲子D的概率是 ；
（2）若该选手可同时选择两扇门，请用画树状图或列表格的方法，求出该选手同时选中C，D两首曲子的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，该选手同时选中C，D两首曲子的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该选手选中曲子D的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，该选手同时选中C，D两首曲子的结果有2个，
∴该选手同时选中C，D两首曲子的概率为＝．
23．（8分）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1．连接CE，DE．以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G，连接GF．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求GE的长．
【分析】（1）先计算⊙O半径长，再作过点O作OH⊥AD于点H，OP⊥AB于点P，证明垂线段OH等于半径，即可得证；
（2）设GE＝a，再表示出DG长为，在直角三角形DGC和直角三角形EGC中抓住CG2＝CE2﹣GE2＝CD2﹣DG2，建立勾股定理方程即可求解．
【解答】解：（1）证明：BE＝AB﹣AE＝9﹣1＝8，BC＝AD＝6．
在Rt△BCE中，CE＝．
∴⊙O半径OE＝OC＝＝5
过点O作OH⊥AD于点H，OP⊥AB于点P，如答图1．
∴OH∥CB，．
∴OH＝AE+EP＝AE+＝1+×8＝5＝OE．
∴OH为⊙O的半径，故AD是⊙O的切线．
（2）连接CG，∵CE为直径，如答图1．
∴∠CGE＝∠CGD＝90°．
设GE＝a，则DE＝＝，
∴DG＝．
在直角三角形DGC和直角三角形EGC中，
有CG2＝CE2﹣GE2＝CD2﹣DG2，
即，
解得：a＝．
则GE＝．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；
（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求出此时x0的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，
∴对称轴x＝﹣＝＝，
∴b＝，
又∵直线y＝x+2与y轴交于C，
∴C（0，2），
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，
∴P（x0，+x0+2），
∵F在直线y＝x+2上，
∴F（x0，x0+2），
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x0＜3时，
PF＝（+x0+2）﹣（x0+2）＝﹣+3x0，
∵OC＝2，
∴﹣+3x0＝2，
解得x01＝1，x02＝2，
即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
②当x0≥3时，
PF＝（x0+2）﹣（+x0+2＝﹣3x0，
∵OC＝2，
∴﹣3x0＝2，
解得x03＝，x04＝（舍去），
即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．
25．（12分）【问题提出】
（1）如图①，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°且点D恰在BC边上，连接CE，则∠ACE的大小为 45° ；
【问题探究】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是其内部一点，连接AP、BP、CP，当∠APB＝90°，∠BPC＝135°时，试探究AP、BP、CP之间的数量关系，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图③，有一个圆心角为120°、半径为20米的扇形舞台AOB．现要在OA、OB边上确定两点C、D，使得OC＝OD，并在CD之间拉上幕布．为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧AB上找一点P来安装一照明角为60°（即∠CPD＝60°）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布．要使幕布CD长最短，则OC长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积（即△PCD的面积）．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得答案；
（2）将Rt△APB绕点A逆时针旋转90°，根据等腰直角三角形的性质和旋转性质可得PP′＝AP，延长BP交P′C于H，由正方形的性质及等腰直角三角形性质可得∠P′PC＝∠APP′+∠HPC＝90°，最后由勾股定理可得答案；
（3）扇形AOB是一个圆心角为120°的扇形，当点P在点O正上方即的中点时，可使CD最短，此时OP平分∠AOB，∠POC＝∠POD，由圆的性质及全等三角形的判定与性质得OC的长，再三角函数可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠B＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°．
故答案为：45°．
（2）将Rt△APB绕点A逆时针旋转90°，如图所示，
∵△ABC是等腰直角三角形且△APB旋转得△AP′C，
∴AB＝AC，AP＝AP′，∠APB＝∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′＝AP，
延长BP交P′C于H，
∵∠APH＝90°＝∠PAP′＝∠AP′C，
∴四边形APHP′为正方形，
∴AP＝PH，∠PHP′＝∠PHC＝90°，
∵∠BPC＝135°，
∴∠CPH＝45°，
∴△PHC为等腰直角三角形，
∴∠APC＝45°，PC＝PH＝AP，
∵∠APP′＝45°，
∴∠P′PC＝∠APP′+∠HPC＝90°，
在Rt△P′PC中，由勾股定理得，
PP′2+PC2＝P′B2，即（AP）2+PC2＝PB2，
∴2AP2+PC2＝PB2．
（3）∵扇形AOB是一个圆心角为120°的扇形，
∴当点P在点O正上方即的中点时，可使CD最短，此时OP平分∠AOB，∠POC＝∠POD，
∵OP为圆的半径，
∴OP＝20m，
∵P在的中点，且OC＝OD，
∴△PCO≌△PDO（SAS），
∵∠CPD＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴OC＝OP•sin60°＝10m，
∵OC＝OD，∠AOB＝120°，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴S△PCD＝，
∵m，
∴s△PCD＝＝75（m2）．
运动员
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
2.5
2.5
6.4
7.1
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
（1）班
0
1
0
a
7
1
（2）班
1
0
0
7
b
2
平均数
众数
中位数
（1）班
78
75
c
（2）班
78
d
80.5
售价x（元/件）
70
80
90
周销售量y（件）
60
40
20
周销售利润w（元
1800
1600
800
运动员
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
2.5
2.5
6.4
7.1
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
（1）班
0
1
0
a
7
1
（2）班
1
0
0
7
b
2
平均数
众数
中位数
（1）班
78
75
c
（2）班
78
d
80.5
售价x（元/件）
70
80
90
周销售量y（件）
60
40
20
周销售利润w（元
1800
1600
800