2021年四川省成都市高中统一招生考试 数学B卷专项突破训练（3）（word版，含答案）

2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试

数学B卷专项突破（三）

（满分50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

1．小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为　               　dm．

2．定义运算x★y＝，则的计算结果是　   　．

3．点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　               　．

4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝，则AC＝　             　，CD＝　             　．

5．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为　   　．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

6．（本小题满分8分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．

（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．

7．（本小题满分10分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

8．（本小题满分12分）抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．

（1）试求二次函数及一次函数的解析式；

（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；

（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．

2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试

数学B卷专项突破（三）

（满分50分）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

1．小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为　（4+）　dm．

【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．

【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4dm，

∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是dm，

∴图2中h的值为（4+）dm．

故答案为：（4+）．

【点评】本题考查正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到②④⑥⑦的高解决问题．

2．定义运算x★y＝，则的计算结果是　20　．

【分析】由已知定义逐项求出部分结果，从而得到所求式子的规律为＝＝20．

【解答】解：∵x★y＝，

∴2020★2020＝，2020★2020★2020＝★2020＝，

2020★2020★2020★2020＝★2020＝，…，

∴＝＝20，

故答案为20．

【点评】本题考查数字的变化规律；运用定义，通过逐步求出部分结果，从而总结出所求式子的规律是解题的关键．

3．点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　．

【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．

【解答】解：∵CD＝DE＝OE，

∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，

则P（，3a），Q（，2a），R（，a），

∴CP＝，DQ＝，ER＝，

∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，

∴S1＝S3＝2S2，

∵S1+S3＝27，

∴S3＝，S1＝，S2＝，

解法二：∵CD＝DE＝OE，

∴S1＝，S四边形OGQD＝k，

∴S2＝（k﹣×2）＝，

S3＝k﹣k﹣k＝k，

∴k+k＝27，

∴k＝，

∴S2＝＝．

故答案为．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝，则AC＝　3　，CD＝　　．

【分析】连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．首先解直角三角形求出BH，CH，利用三角形的中位线定理求出OT，利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性质构建方程组求出x即可解决问题．

【解答】解：连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．

∵BH是直径，

∴∠BCH＝90°，

∵∠BAC＝∠BHC，

∴sin∠BAC＝sin∠BHC＝＝，

∵BC＝6，

∴BH＝10，CH＝＝＝8，

∵AB＝AC，

∴＝，

∴AT⊥BC，

∴BT＝CT＝3，

∵BO＝OH，BT＝TC，

∴OT＝CH＝4，

∴AT＝AO+OT＝5+4＝9，

∴AC＝＝＝3，

∵AB＝AC，AT⊥BC，

∴∠DAO＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠OCA，

∴∠DAO＝∠OCA，

∵∠ADO＝∠CDA，

∴△DAO∽△DCA，

∴＝＝，

∴＝＝，

解得x＝，

∴CD＝OD+OC＝+5＝，

故答案为3，．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

5．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为　16　．

【分析】根据正方形的性质得到∠BAC＝∠ADB＝45°，根据旋转的性质得到∠EAF＝∠BAC＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠ADB＝45°，

∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，

∴∠EAF＝∠BAC＝45°，

∵∠AEF＝∠DEA，

∴△AEF∽△DEA，

∴＝，

∴EF•ED＝AE2，

∵AE＝4，

∴EF•ED的值为16，

故答案为：16．

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

6．（本小题满分8分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．

（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．

【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；

（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；

（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．

【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），

∴，解得，

k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，

b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；

（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），

则k2＝25×0.8＝20；

（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：

由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．

当健身8次时，

选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），

选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），

∵150＜160，

∴选择方案一所需费用更少．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．

7．（本小题满分10分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【分析】（1）由轴对称的性质可得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三边关系可得A'B＜A'C'+C'B，可得结论；

（2）①由（1）的结论可求；

②由（1）的结论可求解．

【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，

∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，

∴CA＝CA'，

∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，

同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，

∵A'B＜A'C'+C'B，

∴AC+BC＜AC'+C'B；

（2）如图③，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB；（其中点D是正方形的顶点）；

如图④，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD++EB，（其中CD，BE都与圆相切）

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，圆的有关知识，轴对称的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

8．（本小题满分12分）抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．

（1）试求二次函数及一次函数的解析式；

（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；

（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．

【分析】（1）首先确定点C的坐标，代入一次函数求出k，可得点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，构建方程求出a即可解决问题．

（2）分两种情形：①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，分别求解即可解决问题．

（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，

∴C（0，﹣5），

∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，

∴k＝﹣5，

∴B（5，0），

设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，

∴﹣5a＝﹣5，

∴a＝1，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．

（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．

∵S△CPD＝3S△CQD，

∴PD＝3DQ，

∵PT∥DH∥BC，

∴＝＝＝3，

∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），

∴OC＝OB＝5，OD＝OH＝2，

∴HC＝3，

∴TH＝9，OT＝7，

∴直线PT的解析式为y＝x+7，

由，解得或，

∴P（，）或（，），

②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，

当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，

∴PQ＝3DQ，

∴S△CPD＝3S△CQD，

过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，

∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，

由，解得或，

∴P′（3，﹣8），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．

（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），

∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，

∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．