2021年高考数学一轮精选练习：28《平面向量的数量积及应用举例》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

28《平面向量的数量积及应用举例》

一         、选择题

1.设向量a，b满足|a＋b|=4，a·b=1，则|a－b|=(　 　)

A.2        B.2            C.3        D.2

2.已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　 　)

A.－7       B.－3          C.2        D.3

3.如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　A　)

A.2       B.2          C.2         D.6

4.已知△ABC中，AB=6，AC=3，N是边BC上的点，且=2，O为△ABC的外心，

则·的值为(　  　)

A.8        B.10              C.18        D.9

5.设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，=λ，

若·≥·，则实数λ的取值范围是(　 　)

A.≤λ≤1                B.1－≤λ≤1

C.≤λ≤1＋           D.1－≤λ≤1＋

6.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，若a·b=，则(a＋b)·(2b－c)最小值为(  )

A.－2          B.3－         C.－1          D.0

7.若直线ax－y=0(a≠0)与函数f(x)=的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足＋=，则m＋n等于(　 　)

A.1        B.2               C.3         D.4

8.设a，b为非零向量，|b|=2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)

A.        B.            C.          D.0

二         、填空题

9.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，∠BAC=60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则·=        .

10.已知在△OAB中，OA=OB=2，AB=2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为           .

11.已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，AB∥CD，∠ADC=90°，若点M在线段AC上，

则|＋|的取值范围为            .

12.已知平面上的两个向量和满足||=a，||=b，且a2＋b2=1，·=0，若向量=λ＋μ(λ，μ∈R)，且(2λ－1)2a2＋(2μ－1)2b2=4，则||的最大值为          .

三         、解答题

13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(cos(A－B)，sin(A－B))，n=(cosB，－sinB)，且m·n=－.

(1)求sinA的值；

(2)若a=4，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影.

14.已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2=1的任意一条直径，求·的最值.

15.已知向量a=，b=(cosx，－1).

(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；

(2)设函数f(x)=2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

若a=，b=2，sinB=，求f(x)＋4cos的取值范围.

答案解析

1.答案为：B；

解析：由|a＋b|=4，a·b=1，得a2＋b2=16－2=14，

∴|a－b|2=a2－2a·b＋b2=14－2×1=12，∴|a－b|=2.

2.答案为：D；

解析：依题意得a·b=2×1×cos=－1，(a＋λb)·(2a－b)=0，

即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b=0,3λ＋9=0，λ=3.

3.答案为：A；

解析：如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3=0，则F3=－(F1＋F2)，

即F=F＋F＋2F1·F2=F＋F＋2|F1|·|F2|·cos60°=28.故|F3|=2.

4.答案为：D；

解析：由于=2，则=＋，取AB的中点为E，连接OE，

由于O为△ABC的外心，则⊥，∴·=·=2=×62=18，

同理可得·=2=×32=，

所以·=·=·＋·=×18＋×=6＋3=9，故选D.

5.答案为：B；

解析：因为=λ，=(1－λ，λ)，=λ=(－λ，λ)，·≥·，

所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，

所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，

因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，

即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.

6.答案为：B；

解析：由|a|=|b|=1，a·b=，

可得〈a，b〉=.令=a，=b，

以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，

则a==(1,0)，b==，设c==(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，

则(a＋b)·(2b－c)=2a·b－a·c＋2b2－b·c=3－=3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.

7.答案为：B；

解析：因为f(－x)===－f(x)，且直线ax－y=0过坐标原点，

所以直线与函数f(x)=的图象的两个交点A，B关于原点对称，

即xA＋xB=0，yA＋yB=0，又=(xA－m，yA－n)，=(xB－m，yB－n)，=(m－6，n)，

由＋=，得xA－m＋xB－m=m－6，yA－n＋yB－n=n，

解得m=2，n=0，所以m＋n=2，故选B.

8.答案为：B；

解析：a·a=|a|2，b·b=|b|2=4|a|2，

设a与b的夹角为θ，则a·b=|a|·|b|·cosθ=2|a|2·cosθ.

①若xi·yi(i=1,2,3,4)中2个a均与a相乘，

则x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4=a2＋a2＋b2＋b2=10|a|2；

②若xi·yi(i=1,2,3,4)中仅有一个a与a相乘，

则x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4=a2＋b2＋2a·b=5|a|2＋4|a|2cosθ；

③若xi·yi(i=1,2,3,4)中的a均不与a相乘，

则x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4=4a·b=8|a|2·cosθ.

因为5|a|2＋4|a|2cosθ－8|a|2cosθ=5|a|2－4|a|2cosθ=|a|2(5－4cosθ)＞0，

所以5|a|2＞4|a|2cosθ得

5·|a|2＋4|a|2cosθ＞8|a|2cosθ，

即x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值为8|a|2cosθ，

依题意得8·|a|2cosθ=4|a|2，

从而cosθ=，又0≤θ≤π，故θ=.

一         、填空题

9.解析：依题意，F是△ABC的重心，=×(＋)=(＋)，

=(＋)==·=－.

故·=(＋)·=.

10.解析：易知∠AOB=120°，记=a，=b，

则a·b=－2，设=λ=λa－λb(0≤λ≤1)，则=＋=(λ－1)a－λb，

则·=(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]=12λ2－6λ，

当λ=时，·取最小值－，

此时，||=||=，=－a－b=－(3a＋b)，||=|3a＋b|=，

所以向量与的夹角的余弦值为==－.

11.答案为：.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系.

则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，

设=λ(0≤λ≤1)，

则M(λ，2λ)，故=(－λ，2－2λ)，=(2－λ，－2λ)，

则＋=(2－2λ，2－4λ)，

|＋|== ，

当λ=0时，|＋|取得最大值2，

当λ=时，|＋|取得最小值为，∴|＋|∈.

12.答案为：1.5；

解析：设AB的中点为M，∵·=0且a2＋b2=1，∴||=||=||=||=，

又∵=(＋)，∴=－=(λ＋μ)－(＋)

=＋.∴||2=2a2＋2b2，①

又∵(2λ－1)2a2＋(2μ－1)2b2=4，整理得2a2＋2b2=1，

代入①式得||2=1，即||=1，

即点C的轨迹是以点M为圆心，1为半径的圆，

又∵||=，∴当与同向时，||的值最大，此时||=，故填.

二         、解答题

13.解：(1)由m·n=－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB=－，

所以cosA=－.因为0＜A＜π，

所以sinA== =.

(2)由正弦定理，得=，则sinB===，

因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B=.

由余弦定理得(4)2=52＋c2－2×5c×，解得c=1，c=－7舍去，

故向量在方向上的投影为||cosB=ccosB=1×=.

14.解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y).

由·=0，得||2－||2=0，

即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2=0，化简得＋=1.

所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋=1.

(2)易知=＋，=＋，且＋=0，由题意知N(0,1)，

所以·=2－2=(－x)2＋(1－y)2－1=16＋(y－1)2－1

=－y2－2y＋16=－(y＋3)2＋19.

因为－2≤y≤2，所以当y=－3时，·取得最大值19，

当y=2时，·取得最小值12－4.

综上，·的最大值为19，最小值为12－4.

15.解：(1)因为a∥b，所以cosx＋sinx=0，所以tanx=－.

cos2x－sin2x===.

(2)f(x)=2(a＋b)·b=2·(cosx，－1)

=sin2x＋cos2x＋=sin＋.

由正弦定理=，得sinA===，所以A=或A=.

因为b＞a，所以A=.所以f(x)＋4cos=sin－，

因为x∈，所以2x＋∈，

所以－1≤f(x)＋4cos≤ －.所以

f(x)＋4cos的取值范围是.