2021年高考数学一轮精选练习：32《等比数列及其前n项和》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

32《等比数列及其前n项和》

一         、选择题

1.已知正项等比数列{an}满足a3=1，a5与a4的等差中项为，则a1的值为(　 　)

A.4          B.2          C.           D.

2.已知等比数列{an}中，a5=3，a4a7=45，则的值为(　 　)

A.3        B.5           C.9          D.25

3.等比数列{an}前n项和为Sn，若对任意正整数n，Sn＋2=4Sn＋3恒成立，则a1的值为(　 　)

A.－3         B.1         C.－3或1         D.1或3

4.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11=－3，b1＋b6＋b11=7π，则tan的值是(　 　)

A.－        B.－1          C.－         D.

5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　 　)

A.f           B.f          C.f          D.f

6.在正项数列{an}中，a1=2，点(，)(n≥2)在直线x－y=0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　 　)

A.2n＋1－2        B.2n＋1        C.2－       D.2－

7.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，

则a3·a6·a9·…·a30=(　B　)

A.210         B.220            C.216        D.215

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1=an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　 　)

A.Sn=2Tn        B.Tn=2bn＋1         C.Tn＞an         D.Tn＜bn＋1

9.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　 　)

A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a=

B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c=

C.a，b，c依次成公比为的等比数列，且a=

D.a，b，c依次成公比为的等比数列，且c=

10.已知数列{an}满足a1a2a3…an=2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为(　D　)

A.       B.     C.       D.

二         、填空题

11.在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2 018=，则＋的最小值为　　.

12.已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12=7S4，则=    .

13.各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{an}的通项公式为　an=          .

三         、解答题

14.设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn=8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列.

15.已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1=qSn＋1，其中q＞0，n∈N*.

(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)设双曲线x2－=1的离心率为en，且e2=，证明：e1＋e2＋…＋en＞.

16.已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：Sn＋≤(n∈N*).

答案解析

1.答案为：A；

解析：由题意知2×=a5＋a4，即3a4＋2a5=2.

设{an}的公比为q(q＞0)，则由a3=1，

得3q＋2q2=2，解得q=或q=－2(舍去)，所以a1==4.

2.答案为：D；

解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7=·a5q2=9q=45，

所以q=5，==q2=25.故选D.

3.答案为：C；

解析：设等比数列{an}的公比为q，当q=1时，Sn＋2=(n＋2)a1，Sn=na1，

由Sn＋2=4Sn＋3得，(n＋2)a1=4na1＋3，

即3a1n=2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n=2a1－3恒成立，

则a1=0且2a1－3=0，矛盾，所以q≠1，所以Sn=，Sn＋2=，

代入Sn＋2=4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn=3＋3a1－3q，

若对任意的正整数n该等式恒成立，

则有解得或故a1=1或－3，故选C.

4.答案为：A；

解析：依题意得，a=(－)3，a6=－，3b6=7π，

b6=，==－，故tan=tan=－tan=－.

5.答案为：D；

解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，

设该等比数列为{an}，则a8=a1q7，即a8=f，故选D.

6.答案为：A；

解析：因为点(，)(n≥2)在直线x－y=0上，所以－·=0.

又因为an＞0，所以=2(n≥2).

又a1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列.

所以所求的Sn==2n＋1－2.

7.答案为：B；

解析：因为a1a2a3=a，a4a5a6=a，a7a8a9=a，…，a28a29a30=a，

所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30=(a2a5a8…a29)3=230.所以a2a5a8…a29=210.

则a3a6a9…a30=(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)=(a2a5a8…a29)q10=210×210=220，故选B.

8.答案为：D；

解析：由题意可得Sn＋3=3×2n，Sn=3×2n－3，

由等比数列前n项和的特点可得数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，

数列的通项公式an=3×2n－1，设bn=b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn=3×2n－1，

当n=1时，b1＋b1q=3，当n=2时，b1q＋b1q2=6，解得b1=1，q=2，

数列{bn}的通项公式bn=2n－1，

由等比数列求和公式有：Tn=2n－1，观察所给的选项：

Sn=3Tn，Tn=2bn－1，Tn＜an，Tn＜bn＋1.

9.答案为：D；

解析：由题意可知b=a，c=b，∴=，=.

∴a、b、c成等比数列且公比为.

∵1斗=10升，∴5斗=50升，∴a＋b＋c=50，

又易知a=4c，b=2c，∴4c＋2c＋c=50，∴7c=50，∴c=，故选D.

10.答案为：D；

解析：依题意得，当n≥2时，an===2n2－(n－1)2=22n－1，

又a1=21=22×1－1，

因此an=22n－1，=，数列是以为首项，为公比的等比数列，

等比数列的前n项和等于=＜，

因此实数t的取值范围是.

一         、填空题

11.答案为：4；

解析：设公比为q(q＞0)，因为a2 018=，所以a2 017==，a2 019=a2 018q=q，

则有＋=q＋=q＋≥2 =4，当且仅当q2=2，

即q=时取等号，故所求最小值为4.

12.答案为：3；

解析：由题意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则(S8－S4)2=S4·(S12－S8)，

又S12=7S4，∴(S8－S4)2=S4·(7S4－S8)，

可得S－6S－S8S4=0，两边都除以S，得2－－6=0，解得=3或－2，

又=1＋q4(q为{an}的公比)，∴＞1，∴=3.

13.答案为：；

解析：由题意知2bn=an＋an＋1，a=bn·bn＋1，∴an＋1=，

当n≥2时，2bn=＋，

∵bn＞0，∴2=＋，∴{}成等差数列，

由a1=1，a2=3，得b1=2，b2=，∴=，=，∴公差d=，

∴=，∴bn=，∴an==.

二         、解答题

14.解：(1)当n=2时，4S4＋5S2=8S3＋S1，

即4×＋5×=8×＋1，解得a4=.

(2)证明：因为4Sn＋2＋5Sn=8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，

所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1=4Sn＋1－4Sn(n≥2)，

即4an＋2＋an=4an＋1(n≥2).

又因为4a3＋a1=4×＋1=6=4a2，所以4an＋2＋an=4an＋1，

所以====，

所以数列是以a2－a1=1为首项，为公比的等比数列.

15.解：(1)由已知，Sn＋1=qSn＋1，Sn＋2=qSn＋1＋1，

两式相减得到an＋2=qan＋1，n≥1.

又由S2=qS1＋1得到a2=qa1，

故an＋1=qan对所有n≥1都成立.

所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.

从而an=qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，

可得2a3=3a2＋2，即2q2=3q＋2，则(2q＋1)(q－2)=0，

由已知，q＞0，故q=2.

所以an=2n－1(n∈N*).

(2)证明：由(1)可知，an=qn－1.

所以双曲线x2－=1的离心率en==.

由e2==，解得q=.

因为1＋q2(k－1)＞q2(k－1)，所以＞qk－1(k∈N*).

于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1=，

故e1＋e2＋…＋en＞.

16.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2=4S4－S3，即S4－S3=S2－S4，

可得2a4=－a3，于是q==－.

又a1=，所以等比数列{an}的通项公式为an=×n－1=(－1)n－1·.

(2)证明：由(1)知，Sn=1－n，

Sn＋=1－n＋=

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋=.

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋=.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.