2021年高考数学一轮精选练习：37《基本不等式》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

37《基本不等式》

一         、选择题

1.“a＞b＞0”是“ab＜”的(　  　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若a＞0，b＞0，且a＋b=4，则下列不等式恒成立的是(　 　)

A.≤      B.＋≤1      C.≥2       D.a2＋b2≥8

3.已知a＞0，b＞0，a＋b=＋，则＋的最小值为(　　)

A.4        B.2            C.8        D.16

4.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy=30，则xy的最大值是(　 　)

A.          B.            C.2           D.

5.设x＞0，y＞0，且x＋4y=40，则lgx＋lgy的最大值是(　 　)

A.40         B.10           C.4          D.2

6.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　 　)

A.[－2,0)∪(0,4]     B.[－4,0)∪(0,2]    C.[－4,2]      D.[－2,4]

7.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z=0，则当取得最大值时，＋－最大值是(　 　)

A.0          B.1          C.          D.3

8.已知函数f(x)=ax3－2x2＋cx在R上单调递增，且ac≤4，则＋最小值为(　　)

A.0         B.         C.           D.1

二         、填空题

9.已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为       .

10.已知直线ax－2by=2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心，则＋的最小值为        .

11.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为　 　米时，可使总造价最低.

12.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017=4 034，则＋的最小值为　 　.

13.若正数x，y满足x＋3y=5xy，则3x＋4y的最小值为　 　.

14.设函数f(x)=－sin2x最小值为m，且与m对应的x最小正值为n，则m＋n=　　.

15.已知两条直线l1：y=m(m＞0)和l2：y=，l1与函数y=|log2x|的图象从左到右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为        .

三         、解答题

16.经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

答案解析

1.答案为：A；

解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，

故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.

2.答案为：D；

解析：4=a＋b≥2(当且仅当a=b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋==≥1，选项B不成立；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=16－2ab≥8，选项D成立.

3.答案为：B；

解析：由a＞0，b＞0，a＋b=＋=，得ab=1，则＋≥2 =2.

当且仅当=，即a=，b=时等号成立，故选B.

4.答案为：C；

解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x=3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

5.答案为：D；

解析：因为x＋4y=40，且x＞0，y＞0，

所以x＋4y≥2=4.(当且仅当x=4y时取“=”)

所以4≤40，所以xy≤100.所以lgx＋lgy=lgxy≤lg100=2.

所以lgx＋lgy的最大值为2.

6.答案为：D；

解析：因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×2=，

当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，

又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.

所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D.

7.答案为：B；

解析：==≤=1，

当且仅当x=2y时等号成立，此时z=2y2，＋－=－＋=－2＋1≤1，

当且仅当y=1时等号成立，故所求的最大值为1.

8.答案为：B；

解析：因为函数f(x)=ax3－2x2＋cx在R上单调递增，

所以f′(x)=ax2－4x＋c≥0在R上恒成立.

所以所以ac≥4，又ac≤4，所以ac=4，

又a＞0，所以c＞0，则＋=＋=＋

=－＋－=＋－≥2 －=1－=，

当且仅当a=c=2时等号成立，故选B.

一         、填空题

9.答案为：4；

解析：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴b(a－b)≤2=，

∴a2＋≥a2＋≥2=4，当且仅当b=a－b且a2=，

即a=且b=时取等号，∴a2＋的最小值为4.

10.答案为：2.25；

解析：圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心坐标为(2，－1).

由于直线ax－2by=2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心，故有a＋b=1.

∴＋=(a＋2＋b＋1)=

≥＋×2 =，

当且仅当a=2b=时，取等号，故＋的最小值为.

11.答案为：15；

解析：设泳池的长为x米，则宽为米，

总造价f(x)=400×＋100×＋60×200=800×＋12 000

≥1 600＋12 000=36 000(元)，当且仅当x=(x＞0)，

即x=15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.

12.答案为：4；

解析：由等差数列的前n项和公式，

得S2 017==4 034，则a1＋a2 017=4.

由等差数列的性质得a9＋a2 009=4，

所以＋==

=≥=4，

当且仅当a2 009=3a9时等号成立，故所求最小值为4.

13.答案为：5；

解析：法一　由x＋3y=5xy可得＋=1，

∴3x＋4y=(3x＋4y)=＋＋＋≥＋=5

(当且仅当=，即x=1，y=时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.

法二　由x＋3y=5xy，得x=，

∵x＞0，y＞0，∴y＞，∴3x＋4y=＋4y=＋4y

=＋·＋4≥＋2=5，当且仅当y=时等号成立，

∴(3x＋4y)min=5.

14.答案为：；

解析：f(x)=＋=＋－，

因为cos2x＋2＞0，所以f(x)≥2×－=0，当且仅当=，

即cos2x=－时等号成立，所以x的最小正值为n=，所以m＋n=.

15.答案为：8.

解析：根据题意得xA=2－m，xB=2m，xC=2，xD=2，

所以a=|xA－xC|=|2－m－2|，b=|xB－xD|=|2m－2|，

即==2·2m=2＋m.

因为m＞0，所以＋m=(2m＋1)＋－≥2 －=，

当且仅当(2m＋1)=，即m=时取等号，所以的最小值为2=8.

二         、解答题

16.解：(1)由题意可知，当m=0时，x=1，

∴1=3－k，解得k=2，即x=3－，

每1万件产品的销售价格为1.5×(万元)，

∴2017年的利润y=x－(8＋16x＋m)=4＋8x－m

=4＋8－m=28－－m(m≥0).

∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y=28－－m(m≥0).

(2)由(1)知y=－＋29(m≥0).

∵m≥0时，＋(m＋1)≥2 =8，

当且仅当=m＋1，即m=3时取等号.

∴y≤－8＋29=21，即当m=3时，y取得最大值21.

∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元.