2021年高考数学一轮精选练习：35《不等关系与一元二次不等式》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

35《不等关系与一元二次不等式》

一         、选择题

1.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列结论正确的是(　 　)

A.ac2＜bc2      B.＜    C.＞       D.a2＞ab＞b2

2.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则(　 　)

A.a＋b－c的最小值为2

B.a－b＋c的最小值为－4

C.a＋b－c的最大值为4

D.a－b＋c的最大值为6

3.若a＞1,0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是(　 　)

A.loga2 018＞logb2 018      B.logba＜logca

C.(c－b)ca＞(c－b)ba        D.(a－c)ac＞(a－c)ab

4.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　 　)

A.0≤k≤1           B.0＜k≤1

C.k＜0或k＞1       D.k≤0或k≥1

5.若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－3]     B.(－∞，0]    C.[1，＋∞)    D.(－∞，1]

6.已知函数f(x)=若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)      B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C.(－1,2)              D.(－2,1)

7.在R上定义运算：=ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　 　)

A.－        B.－      C.         D.

8.已知函数f(x)=e1＋x＋e1－x，则满足f(x－2)＜e2＋1的x的取值范围是(　 　)

A.x＜3         B.0＜x＜3      C.1＜x＜e       D.1＜x＜3

9.已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是(　　)

A.2       B.3         C.5         D.8

10.若∀x∈R，函数f(x)=2mx2－2(4－m)x＋1与g(x)=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为(　 　)

A.(0,4]       B.(0,8)       C.(2,5)        D.(－∞，0)

二         、填空题

11.若关于x的不等式x＋≤b(a，b∈R)的解集为{x|x<0或1≤x≤2}，则ab的值为    .

12.已知函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0(e是自然对数的底数)的解集是           .

13.已知函数f(x)=－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)=f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则实数b的取值范围是             .

14.已知函数f(x)=ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若存在实数a∈[1,2]，对任意x∈[1,2]，都有f(x)≤1，则7b＋5c的最大值      .

三         、解答题

15.已知函数g(x)=ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上，有最大值4和最小值1，设f(x)=.

(1)求a，b的值；

(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围.

16.某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x的取值范围.

(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.

答案解析

1.答案为：D；

解析：选项A，∵c为实数，∴取c=0，得ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不正确；选项B，－=，∵a＜b＜0，∴b－a＞0，ab＞0，∴＞0，即＞，故选项B不正确；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=－2，b=－1，则==，=2，此时＜，故选项C不正确；选项D，∵a＜b＜0，∴a2－ab=a(a－b)＞0，∴a2＞ab，又∵ab－b2=b(a－b)＞0，∴ab＞b2，故选项D正确，故选D.

2.答案为：A；

解析：当x=1，y=－1时，－6≤a－b＋c≤4，所以a－b＋c的最小值为－6，最大值为4，故B，D错误；当x=－1，y=－1时，－12≤－a－b＋c≤－2，则2≤a＋b－c≤12，所以a＋b－c的最小值为2，最大值为12，故A正确，C错误，故选A.

3.答案为：D；

解析：∵a＞1,0＜c＜b＜1，∴logab＜0，loga2 018＞0，

∴logb2 018=＜loga2 018，∴A正确；

∵0＞logab＞logac，∴＜，

∴logba＜logca，∴B正确；

∵ca＜ba，c－b＜0，∴(c－b)ca＞(c－b)ba，∴C正确；

∵ac＜ab，a－c＞0，∴(a－c)ac＜(a－c)ab，

∴D错误.故选D.

4.答案为：A；

解析：当k=0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，

当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，

只需解得0＜k≤1.

综上，k的取值范围是0≤k≤1，故选A.

5.答案为：A；

解析：方法一：令f(x)=x2－2x＋a，

则由题意，得解得a≤－3，故选A.

方法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，

则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2]).而－x2＋2x=－(x－1)2＋1，

则当x=－1时，(－x2＋2x)min=－3，所以a≤－3，故选A.

6.答案为：D；

解析：易知f(x)在R上是增函数，

∵f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x，解得－2＜x＜1，

则实数x的取值范围是(－2,1)，故选D.

7.答案为：D；

解析：由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，

∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立.∵x2－x＋1=2＋≥，

∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.

8.答案为：D；

解析：∵f(x)=e1＋x＋e1－x=e·ex＋=e，令t=ex，可得y=e，

内函数t=ex为增函数，而外函数y=e在(0,1)上为减函数，

在(1，＋∞)上为增函数，

∴函数f(x)=e1＋x＋e1－x的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞).

又f(x)=e1＋x＋e1－x为偶函数，

∴由f(x－2)＜e2＋1，得f(|x－2|)＜f(1)，

得|x－2|＜1，解得1＜x＜3，故选D.

9.答案为：D；

解析：作出函数f(x)的图象如图中实线部分所示，由[f(x)]2＋af(x)－b2＜0，

得＜f(x)＜，若b≠0，则f(x)=0满足不等式，

即不等式有2个整数解，不满足题意，

所以b=0，所以－a＜f(x)＜0，且整数解x只能是3，

当2＜x＜4时，－8＜f(x)＜0，所以－8≤－a＜－3，

即a的最大值为8，故选D.

10.答案为：B；

解析：当m＜0且x趋于＋∞时，函数f(x)=2mx2－2(4－m)x＋1与g(x)=mx的值均为负值，不符合题意.当m=0时，g(x)=0，f(x)=－8x＋1，

当x≥时，f(x)≤0，g(x)=0，不符合题意.

∴m＞0，易知f(x)的图象的对称轴为x=，f(0)=1＞0，

当≥0，即0＜m≤4时，函数f(x)的图象与x轴的交点都在y轴右侧，

如图1所示，符合题意；

当＜0，即m＞4时，要满足题意，需f(x)的图象在x轴上方，

如图2所示，则Δ=4(4－m)2－8m=4(m－8)(m－2)＜0，则4＜m＜8.

图1                          图2

综上可得0＜m＜8，故选B.

一         、填空题

11.答案为：8；

解析：x＋≤b，即x＋－b≤0，即≤0，则

由于关于x的不等式x＋≤b(a，b∈R)的解集为{x|x<0或1≤x≤2}，

故1与2为方程x2－bx＋a=0的两个根，则b=1＋2=3，a=1×2=2，ab=23=8.

12.答案为：－ln2＜x＜ln3；

解析：依题意可得f(x)=a(x－3)(a＜0)，则f(ex)=a(ex－3)(a＜0)，

由f(ex)=a(ex－3)＞0，可得＜ex＜3，解得－ln2＜x＜ln3.

13.答案为：(－∞，－1)∪(2，＋∞).

解析：由f(1－x)=f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x=1对称，即=1，解得a=2.

又因为f(x)的图象开口向下，

所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，

所以当x∈[－1,1]时，f(x)min=f(－1)=－1－2＋b2－b＋1=b2－b－2，

若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，

则b2－b－2＞0恒成立，

解得b＜－1或b＞2. 所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).

14.答案为：-6；

解析：因为x∈[1,2]，所以ax2＋bx＋c≤1等价于a≤，

由题意知存在a∈[1,2]，使得不等式a≤对任意x∈[1,2]恒成立，

所以≥1，即x2＋bx＋c－1≤0对x∈[1,2]恒成立，

所以即

所以7b＋5c=3(b＋c)＋2(2b＋c)≤－6，即7b＋5c的最大值为－6.

二         、解答题

15.解：(1)g(x)=a(x－1)2＋1＋b－a，

因为a＞0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，

故解得

(2)由已知及(1)可得f(x)=x＋－2，

f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，

化简得1＋2－2·≥k，令t=，则t∈.

即k≤t2－2t＋1，记h(t)=t2－2t＋1，因为t∈，

故h(t)max=1，所以实数k的取值范围是(－∞，1].

16.解：(1)根据题意，有100≥1 500，

即5x2－14x－3≥0，得x≥3或x≤－，

又1≤x≤10，所以3≤x≤10.

(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元，

则u=24 000，1≤x≤10，

记f(x)=－＋＋5(1≤x≤10)，则f(x)=－32＋＋5(1≤x≤10)，

当x=6时，f(x)取得最大值，此时u=24 000×=122 000，

故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元.