2021年高考数学一轮精选练习：29《数系的扩充与复数的引入》(含解析)
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29《数系的扩充与复数的引入》
一 、选择题
1.已知复数z满足zi=3＋4i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设复数z=－2＋i，则复数z＋的虚部为( )
A. B.i C. D.i
3.已知复数z满足：(2＋i)z=1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为( )
A.－i B.＋i C.－i D.＋i
4.已知复数z满足(1＋2i)z=－3＋4i，则|z|=( )
A. B.5 C. D.
5.i是虚数单位，若=a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是( )
A.－2 B.－1 C.0 D.
6.计算2 017＋2 017=( )
A.－2i B.0 C.2i D.2
7.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1－z2|=0，则1=2
B.若z1=2，则1=z2
C.若|z1|=|z2|，则z1·1=z2·2
D.若|z1|=|z2|，则z=z
8.已知复数z的共轭复数为，若(1－2i)=5－i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.欧拉公式eix=cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.已知i是虚数单位，若复数z=在复平面内对应点在直线2x－y=0上，则实数a=( )
A.1 B.－1 C.4 D.－4
11.“复数z=－(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ=＋2kπ(k∈Z)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二 、填空题
12.i是虚数单位，复数= .
13.若=a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b= .
14.若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q=0(p，q∈R)的一个解，则p＋q= .
15.已知复数z=x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|=，则的最大值为 .
16.已知复数z1=－1＋2i，z2=1－i，z3=3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C.
若=λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是 .
答案解析
1.答案为：D；
解析：由zi=3＋4i，得z===4－3i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.
2.答案为：A；
解析：z＋=－2＋i＋=－2－＋i=－＋i.
3.答案为：B；
解析：由(2＋i)z=1－i，得z===－i，∴=＋i，故选B.
4.答案为：C；
解析：∵(1＋2i)z=－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|=|－3＋4i|，
则|z|==.故选C.
5.答案为：C；
解析：∵==－i=a＋bi，
∴∴lg(a＋b)=lg1=0.
6.答案为：B；
解析：∵===i，=－i，
∴2 017＋2 017=(i4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)=i－i=0，故选B.
7.答案为：D；
解析：A中，|z1－z2|=0，则z1=z2，故1=2，成立.B中，z1=2，
则1=z2成立.C中，|z1|=|z2|，则|z1|2=|z2|2，即z11=z22，C正确.
D不一定成立，如z1=1＋i，z2=2，则|z1|=2=|z2|，
但z=－2＋2i，z=4，z≠z.
8.答案为：A；
解析：依题意，设z=a＋bi(a，b∈R)，
则＋=2a＋bi，故2a＋bi==1＋i，
故a=，b=，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限.
9.答案为：B；
解析：e2i=cos2＋isin2，由于＜2＜π，
因此cos2＜0，sin2＞0，点(cos2，sin2)在第二象限，故选B.
10.答案为：C；
解析：复数z====－－i，
所以复数z在复平面内对应的点为，
所以－＋=0，解得a=4，故选C.
11.答案为：B；
解析：z=－=－icosθ，若z为纯虚数，
则即θ=2kπ＋(k∈Z)或θ=2kπ＋π(k∈Z).
故“复数z=－(其中i是虚数单位)是纯虚数”
是“θ=＋2kπ(k∈Z)”的必要不充分条件，故选B.
一 、填空题
12.答案为：4－i.
解析：===4－i.
13.答案为：3；
解析：==[(3－b)＋(3＋b)i]=＋i.
∴解得∴a＋b=3.
14.答案为：1；
解析：依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q=(2p＋q)－2(p＋1)i=0，
即解得所以p＋q=1.
15.答案为：.
解析：∵|z－2|==，∴(x－2)2＋y2=3.由图可知max==.
16.答案为：1；
解析：由条件得=(3，－4)，=(－1,2)，=(1，－1)，根据=λ＋μ，
得(3，－4)=λ(－1,2)＋μ(1，－1)=(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得∴λ＋μ=1.
