2021年高考数学一轮精选练习：09《对数与对数函数》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

09《对数与对数函数》

一         、选择题

1.函数f(x)=的定义域是(　  　)

A.        B.∪(0，＋∞)

C.        D.[0，＋∞)

2.设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是(　 　)

A.a＜b＜c      B.c＜b＜a      C.c＜a＜b      D.b＜c＜a

3.若函数y=(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga=(　 　)

A.1       B.2        C.3        D.4

4.已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1=0的两个实根，则lg(ab)·2=(  　)

A.2         B.4            C.6          D.8

5.已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)=0，且当x≤0时，f(x)=＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为(　 　)

A.4          B.－4            C.6          D.－6

6.函数f(x)=xa满足f(2)=4，那么函数g(x)=|loga(x＋1)|的图象大致为(　 　)

7.已知函数f(x)=ex＋2(x＜0)与g(x)=ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，e)    B.(0，e)       C.(e，＋∞)    D.(－∞，1)

8.已知函数f(x)=(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(log0.2x)≤2f(1)，则x的取值范围是(　 　)

A.[0.2,1]      B.[1,5]      C.[0.2,5]        D.(-∞,0.2]∪[5，＋∞)

9.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数.对任意两个不相等的正数x1，x2，

都有＞0，记a=，b=，c=，则(　　)

A.a＜b＜c     B.b＜a＜c        C.c＜a＜b      D.c＜b＜a

10.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)=f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)=x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)=0(a＞0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　D　)

A.(0.25,1)      B.(1,4)          C.(1,8)        D.(8，＋∞)

二         、填空题

11.函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为         .

12.已知函数f(x)=|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)=f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则=          _.

13.已知函数f(x)=ln(x＋)，g(x)=f(x)＋2 017，下列命题：

①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；

②f(x)是奇函数；

③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)=0，则a＋b=1；

⑤设函数g(x)在[－2 017,2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m=2 017.

其中真命题的序号是              .(写出所有真命题的序号)

三         、解答题

14.设f(x)=loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)=2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间[0,1.5]上的最大值.

15.已知函数f(x)=loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.

(1)当a=2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；

(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围.

16.已知函数f(x)=ln.

(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；

(2)对于x∈[2,6]，f(x)=ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围.

答案解析

1.答案为：B；

解析：由解得x＞－且x≠0，故选B.

2.答案为：B；

解析：∵a=60.4＞1，b=log0.40.5∈(0,1)，c=log80.4＜0，∴a＞b＞c.故选B.

3.答案为：D；

解析：若a＞1，则y=在[0,1]上单调递减，则解得a=2，

此时，loga＋loga=log216=4；若0＜a＜1，则y=在[0,1]上单调递增，

则无解，故选D.

4.答案为：B；

解析：由已知，得lga＋lgb=2，即lg(ab)=2.

又lga·lgb=，所以lg(ab)·2=2(lga－lgb)2=

2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]=2×=2×2=4，故选B.

5.答案为：B；

解析：易知函数f(x)是奇函数，故f(0)=＋k=1＋k=0，即k=－1，

所以f(ln5)=－f(－ln5)=－(eln5－1)=－4.

6.答案为：C；

解析：∵f(2)=4，∴2a=4，解得a=2，

∴g(x)=|log2(x＋1)|=

∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)=0；

当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减，故选C.

7.答案为：A；

解析：由题意知，方程f(－x)－g(x)=0在(0，＋∞)上有解，

即e－x－ln(x＋a)=0在(0，＋∞)上有解，

即函数y=e－x与y=ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，

则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是(0，e)，

当a≤0时，y=e－x与y=ln(x＋a)的图象总有交点，

故a的取值范围是(－∞，e)，故选A.

8.答案为：C；

解析：∵f(x)=(ex－e－x)x，∴f(－x)=－x(e－x－ex)=(ex－e－x)x=f(x)，

∴函数f(x)是偶函数.

∵f′(x)=(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立.

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，

∴|log5x|≤1，∴0.2≤x≤5.故选C.

9.答案为：B；

解析：已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，

对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，

故x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，则x1－x2与

同号，∴函数y=是(0，＋∞)上的增函数，

∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log25＞2，

∴0.32＜30.2＜log25，∴b＜a＜c，故选B.

10.答案为：D；

解析：依题意得f(x＋2)=f(－(2－x))=f(x－2)，即f(x＋4)=f(x)，

则函数f(x)是以4为周期的函数，

结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数y=loga(x＋2)的图象，

结合图象分析可知.

要使f(x)与y=loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有

由此解得a＞8，即a的取值范围是(8，＋∞).

11.答案为：-0.25；

解析：依题意得f(x)=log2x·(2＋2log2x)=(log2x)2＋log2x=2－≥－，

当且仅当log2x=－，即x=时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.

12.答案为：9；

解析：f(x)=|log3x|=

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

由0＜m＜n且f(m)=f(n)，可得则

所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，

所以f(m2)＞f(m)=f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)=－log3m2=2，

解得m=，则n=3，所以=9.

13.答案为：①②③④；

解析：对于①，∵＞=|x|≥－x，∴＋x＞0，

∴f(x)的定义域为R，∴①正确.

对于②，f(x)＋f(－x)=ln(x＋)＋ln(－x＋)

=ln[(x2＋1)－x2]=ln1=0.∴f(x)是奇函数，∴②正确.

对于③，令u(x)=x＋，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增.

当x∈(－∞，0]时，u(x)=x＋=，

而y=－x在(－∞，0]上单调递减，且－x＞0.

∴u(x)=在(－∞，0]上单调递增，

又u(0)=1，∴u(x)在R上单调递增，

∴f(x)=ln(x＋)在R上单调递增，∴③正确.

对于④，∵f(x)是奇函数，

而f(a)＋f(b－1)=0，∴a＋(b－1)=0，∴a＋b=1，∴④正确.

对于⑤，f(x)=g(x)－2 017是奇函数，

当x∈[－2 017,2 017]时，f(x)max=M－2 017，f(x)min=m－2 017，

∴(M－2 017)＋(m－2 017)=0，∴M＋m=4 034，∴⑤不正确.

14.解：(1)∵f(1)=2，

∴loga4=2(a＞0，a≠1)，∴a=2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3).

(2)f(x)=log2(1＋x)＋log2(3－x)

=log2[(1＋x)(3－x)]=log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在[0,1.5]上的最大值是f(1)=log24=2.

15.解：(1)∵log2(22x＋t)＜x=log22x，

∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，

即t≥－22x＋2x=g(x)恒成立，即t≥g(x)max，

∵g(x)=－22x＋2x=－2＋，

∴当2x=，即x=－1时，g(x)取得最大值，

∴t≥，故t的取值范围是.

(2)由题意知f(x)=loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，

∴即

问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t=0有两个不相等的实根，

令ak=u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t=0

在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，

即即得0＜t＜.

∴t的取值范围为(0,0.25).

16.解：(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，

∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

f(－x)=ln=ln=ln－1=－ln=－f(x).

∴f(x)=ln是奇函数.

(2)由于x∈[2,6]时，f(x)=ln＞ln恒成立，

∴＞＞0，

∵x∈[2,6]，∴0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立.

令g(x)=(x＋1)(7－x)=－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，

x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2,6]时，g(x)min=g(6)=7，

∴0＜m＜7.故实数m的取值范围为(0,7).