2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算
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第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算
知识体系
空间向量的运算—空间向量—空间直角坐标系
必备知识
1.空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系
定义 | 以空间一点O为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标系Oxyz | 坐标原点 | 点O |
坐标轴 | x轴、y轴、z轴 | ||
坐标 平面 | 通过每 两个坐标轴 的平面 |
(2)空间一点M的坐标
①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标;
②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.
2.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式:
①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则=;
②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为
=.
(2)中点公式:设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则
3.空间向量的有关概念
名 称 | 定 义 |
空间向量 | 在空间中,具有大小和方向的量 |
相等向量 | 方向相同且模相等的向量 |
相反向量 | 方向相反且模相等的向量 |
共线向量 (或平行向量) | 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合的向量 |
共面向量 | 平行于同一个平面的向量 |
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
(4)三点共线的条件
对空间任一点O,若=x+y(x+y=1),则P,A,B三点共线.
(5)四点共面的条件
对空间任一点O,若=x+y+z(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.
5.空间向量的数量积及坐标运算
| a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) |
向量和 | a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) |
向量差 | a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) |
续表
数量积 | a·b=a1b1+a2b2+a3b3 |
共线 | a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0) |
垂直 | a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 |
夹角 | cos<a,b>== |
模 | |a|== |
1.易错点:混淆“向量共面”与“直线共面”
向量共面时,表示向量的有向线段可以平行、相交,也可以异面,但它们都平行于同一个平面,而直线共面时,两直线不能是异面直线.
2.注意点:共线向量定理中的易忽视点
共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb,易忽视b≠0.
基础小题
1.(教材改编)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设=a,
=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 ( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b-c
D.-a-b+c
【解析】选C.=+
=--=--(+)
=---=-a-b-c.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:
①(-)-;
②(+)-;
③(-)-2;
④(+)+.
其中能够化简为向量的是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】选A.如图,①中,(-)-=-=成立;
②中,+-=+=,成立;
③中,(-)-2=-2=(-)-=-,不成立;
④中,(+)+=++=+=+=,不成立,故①②成立.
3.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点 ( )
A.一定不共面 B.一定共面
C.不一定共面 D.无法判断
【解析】选B.因为=++,且++=1.所以P,A,B,C四点共面.
4.(2020·玉林模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于 ( )
A. B.9 C. D.
【解析】选D.由题意知存在实数x,y使得c=xa+yb,
即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),
由此得方程组
解得x=,y=,所以λ=-=.
5.设向量a=(-1,-1,1),b=(-1,0,1),则cos<a,b>= ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为向量a=(-1,-1,1),b=(-1,0,1),
所以cos<a,b>===.
6.(教材改编)已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,λ),若⊥,则λ的值为________.
【解析】因为=(2,-5,1)-(4,1,3)=(-2,-6,-2),
=(3,7,λ)-(4,1,3)=(-1,6,λ-3),
因为⊥.所以·=-2×(-1)-6×6-2(λ-3)=0,解得λ=-14.
答案:-14
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