2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.7.1　利用空间向量证明空间中的位置关系

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第七节　立体几何中的向量方法

第一课时　利用空间向量证明空间中的位置关系

知识体系

必备知识

1.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.

(3)确定平面的法向量

①直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.

②待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由解方程组求得.

(4)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

2.空间位置关系的向量表示

1.易错点:

(1)直线方向向量的求法

一般利用直线(线段)所在的向量作为方向向量,但是直线上的任意线段、与直线平行的线段都可以作为方向向量.

(2)平面法向量的求法

①先选取平面内任意两个不共线向量,再利用法向量与这两个向量垂直,数量积为零,构造方程组,赋值法求法向量.

②选取平面内的向量时,应尽量选取“简单”“特殊”的向量,例如与坐标轴平行的向量、二面角的轴所在的向量,可以简化求法向量的运算过程.

2.注意点:直线的方向向量、平面的法向量与线线、线面、面面位置关系

(1)方向向量和法向量平行、垂直⇔线线和面面的平行、垂直.

(2)方向向量和法向量平行⇔线面垂直.

(3)方向向量和法向量垂直⇔线面平行.

基础小题

1.给出下列说法:

①一条直线的单位方向向量是唯一的;②一个平面的单位法向量是唯一的;③已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),则平面ABC的一个单位法向量是(1,1,1);④已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是.其中正确的说法有________(只填序号). 

【解析】一条直线的单位方向向量与一个平面的单位法向量有2个,它们是相反向量,故①,②错误;

对于③,平面ABC的单位法向量是(0,0,1)或(0,0,-1),故③错误;

对于④,=(-1,1,0),=(-1,0,1),

设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),

则即取n=(1,1,1),则平面ABC的一个单位法向量为=,故④正确.

答案:④

2.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是              (　　)

A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)

C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)

【解析】选A.逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.

3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是              (　　)

A.(-1,1,1)

B.(1,-1,1)

C.

D.

【解析】选C.设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,

则化简得

所以x=y=z.结合选项知选C.

4.(教材改编)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=

(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.(填序号) 

【解析】 由·=-2-2+4=0,所以⊥,所以AB⊥AP,所以①正确;

由·=-4+4+0=0,所以⊥,所以AP⊥AD,所以②正确;

由⊥,AP⊥AD,AB∩AD=A,知是平面ABCD的法向量,故③正确;

由=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),

所以与不平行,故④错误.

答案:①②③

5.直线l的方向向量s=(-1 ,1 ,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x=________. 

【解析】由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±.

答案:±

6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________. 

【解析】以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,

N.·=·=0,

所以ON与AM垂直.

答案:垂直

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