2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.6　空间直角坐标系、空间向量及其运算

温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第六节　空间直角坐标系、空间向量及其运算知识体系空间向量的运算—空间向量—空间直角坐标系必备知识1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系定义以空间一点O为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标系Oxyz坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间一点M的坐标①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标;②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.2.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式:①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=;②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为=.(2)中点公式:设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则3.空间向量的有关概念名　称定　义空间向量在空间中,具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量4.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.(4)三点共线的条件对空间任一点O,若=x+y(x+y=1),则P,A,B三点共线.(5)四点共面的条件对空间任一点O,若=x+y+z(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.5.空间向量的数量积及坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)向量差a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)续表数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3共线a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0夹角cos<a,b>==模|a|==1.易错点:混淆“向量共面”与“直线共面”向量共面时,表示向量的有向线段可以平行、相交,也可以异面,但它们都平行于同一个平面,而直线共面时,两直线不能是异面直线.2.注意点:共线向量定理中的易忽视点共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb,易忽视b≠0.基础小题1.(教材改编)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 (　　)A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b-cD.-a-b+c【解析】选C.=+=--=--(+)=---=-a-b-c.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中能够化简为向量的是 (　　)A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】选A.如图,①中,(-)-=-=成立;②中,+-=+=,成立;③中,(-)-2=-2=(-)-=-,不成立;④中,(+)+=++=+=+=,不成立,故①②成立.3.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点 (　　)A.一定不共面 B.一定共面C.不一定共面 D.无法判断【解析】选B.因为=++,且++=1.所以P,A,B,C四点共面.4.(2020·玉林模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于              (　　)A. B.9 C. D.【解析】选D.由题意知存在实数x,y使得c=xa+yb,即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),由此得方程组解得x=,y=,所以λ=-=.5.设向量a=(-1,-1,1),b=(-1,0,1),则cos<a,b>= (　　)A.  B. C. D.【解析】选D.因为向量a=(-1,-1,1),b=(-1,0,1),所以cos<a,b>===.6.(教材改编)已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,λ),若⊥,则λ的值为________. 【解析】因为=(2,-5,1)-(4,1,3)=(-2,-6,-2),=(3,7,λ)-(4,1,3)=(-1,6,λ-3),因为⊥.所以·=-2×(-1)-6×6-2(λ-3)=0,解得λ=-14.答案:-14 关闭Word文档返回原板块