2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.4 指数函数
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第四节 指 数 函 数
知识体系
必备知识
1.根式
(1)根式的概念.
①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数;
②a的n次方根的表示:
xn=a⇒x=
(2)根式的性质.
①()n=a(n∈N*);
②=
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念.
①正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质.
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象及性质
函数 | y=ax(a>0,且a≠1) | ||
图象 | 0<a<1 | a>1 | |
图象特征 | 在x轴上方,过定点(0,1) | ||
当x逐渐增大时,图象逐渐下降 | 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 | ||
性 质 | 定义域 | R | |
值域 | (0,+∞) | ||
单调性 | 减 | 增 | |
函数值 变化 规律 | 当x=0时,y=1 | ||
当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 | 当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 | ||
1.易错点:忽视对指数函数的底数的分类讨论
利用指数函数y=ax的图象与性质解决有关问题时,忽略对a分a>1或0<a<1的讨论.
2.注意点:根式化简时的注意点
(1)根式的化简容易忽略被开方数的正负而出现错误.
(2)对于根式化简时忽略对n是奇数或偶数的讨论.
基础小题
1.给出下列说法:
(1)=;
(2)(-2=(-2=;
(3)指数函数y=ax过定点(0,0);
(4)y=2-x在R上单调递减;
(5)函数y=5x-1是指数函数.
其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】(1)错误.当n为偶数时中a可以为负数,而中的a不可以为负数;(2)错误.(-2===;(3)错误.指数函数过定点(0,1);(4)正确;
(5)错误.指数函数的指数必须是x,前面系数是1.
答案:(4)
2.(教材改编)已知a=,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.c>b>a
【解析】选A.由指数函数的单调性可知y=0.3x是单调递减的,所以0.30.5<0.30.2,即a<c<1;y=2x是单调递增的,所以y=20.3>20=1.
3.(教材改编)已知a+=7,则+= ( )
A.3 B.9 C.-3 D.±3
【解析】选A.由题意知a+=7,可得a>0,+>0,所以+==
=3.
4.化简的结果为 ( )
A.5 B. C.- D.-5
【解析】选B. =(52===.
5.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a=________.
【解析】因为y=ax是单调函数,所以其最值在区间端点处取得,从而有a0+a=3,
a=2.
答案:2
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