2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：5.3 等比数列及其前n项和
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第三节 等比数列及其前n项和
知识体系
必备知识
1.等比数列的有关概念
(1)定义.
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q.
(2)等比中项.
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),
则am·an=ap·aq=.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{},{an·bn},
(λ≠0)仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,
an+3k,…为等比数列,公比为qk.
1.易错点:等比数列与指数函数的关系
等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1还可以改写为an=·qn,当q≠1且a1≠0时,y=qx是指数函数,y=·qx是指数型函数,因此数列{an}的图象是函数y=·qx的图象上一些孤立的点.
①当或时,{an}是递增数列;
②当或时,{an}是递减数列;
③当q=1时,{an}为常数列(an≠0);
④当q<0时,{an}为摆动数列,所有的奇数项(偶数项)同号,奇数项与偶数项异号.
2.注意点:等比数列性质推广
(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm(k,m∈N*).
(2)若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{ban},{pan·qbn}和 {}(其中b,p,q是非零常数)也是等比数列.
(3)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
(4)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列.
(5)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.
(6)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q.
基础小题
1.给出下列说法:
①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.
②满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.
③G为a,b的等比中项⇔G2=ab.
④如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.
⑤如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.
其中正确的个数为________.
【解析】①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是同一常数,则这个数列是等比数列.所以①不正确;
对于②如果q=0,数列{an}就不是等比数列,故②不正确;
对于③当G2=ab时,a,G,b不一定是等比数列,例如:1,0,0.故③不正确.
④是错误的,例如:2,-2,2,-2,2,-2…是等比数列,由bn=a2n-1+a2n可得,b1=0,b2=0,…,bn=0,所以{bn}不是等比数列.
对于⑤来说也是错误的,如果数列{an}为等比数列,且an<0,lnan无意义.
答案:0
2.(教材改编)若等比数列{an}满足a1+a3=20,a2+a4=40,则公比q= ( )
A.1 B.2 C.-2 D.4
【解析】选B.由题意,得解得
3.设等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.S4==15a1,a3=a1q2=4a1,
所以=.
4.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= ( )
A.2 B.1 C. D.
【解析】选C.因为a3a5=,a3a5=4(a4-1),
所以=4(a4-1),
所以-4a4+4=0,所以a4=2.
又因为q3===8,
所以q=2,所以a2=a1q=×2=.
5.已知{an}为等比数列且满足a6-a2=30,a3-a1=3,则数列{an}的前5项和S5= ( )
A.15 B.31 C.40 D.121
【解析】选B.因为{an}为等比数列且满足a6-a2=30,a3-a1=3,
所以可得S5==31,
数列{an}的前5项和S5=31.
6.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
【解析】因为a1=2,an+1=2an,
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
又因为Sn=126,
所以=126,所以n=6.
答案:6
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