2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：6.1　不等式的性质及一元二次不等式

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第六章　不等式、推理与证明

第一节　不等式的性质及一元二次不等式

知识体系

必备知识

1.两个实数比较大小的依据

(1)a-b>0⇔a>b.　　(2)a-b=0⇔a=b.

(3)a-b<0⇔a<b.

2.不等式的性质

(1)对称性:a>b⇔b<a.

(2)传递性:a>b,b>c⇔a>c.

(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c.

a>b,c>d⇒a+c>b+d.

(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc.

a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.

(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1).

(6)可开方性:a>b>0⇒ > (n∈N,n≥2).

3.“三个二次”的关系

4.常用结论

(1)倒数性质:若ab>0,则a>b⇔<.

(2)糖水不等式:若a>b>0,m>0,则<.

(3)分式不等式的符号:

①>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

②≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心是将分式不等式转化为整式不等式.

1.易错点:解含参数不等式的关注点

(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.

(2)当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀,要注意区别.

(3)含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.

2.注意点:性质应用中的注意点

(1)在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,b<c⇒a<c.

(2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无c≠0这个条件,a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).

基础小题

1.若<<0,则下列不等式:

①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确不等式的个数为 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.由<<0,得b<a<0.

①因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0,

所以<成立,即①正确.

②因为b<a<0,所以-b>-a>0,

则-b>|a|,即|a|+b<0,所以②错误.

③因为b<a<0,且<<0,

所以a->b-,故③正确.

④因为b<a<0,所以b2>a2,

所以ln b2>ln a2,所以④错误.

2.若ab>0,且a>b,则与的大小关系是________. 

【解析】因为a>b,所以b-a<0,

又ab>0,所以-=<0,即<.

答案:<

3.不等式≤0的解集为 (　　)

A.　 

B.

C.(-∞,-1]∪ 

D.(-∞,-1]∪

【解析】选A.不等式≤0可化简为(x+1)(2x-1)≤0且x≠,所以分式不等式的解集为.

4.已知关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则a+b的值是 (　　)

A.-11 B. 11 C.-1 D. 1

【解析】选C.若关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则2,3是方程x2-ax-b=0的根,故a=5,b=-6,故a+b=-1.

5.不等式x2+ax+1≥0的解集为R,则实数a的取值范围是________. 

【解析】不等式x2+ax+1≥0的解集为R, 由二次函数的图象知,图象开口向上,函数值大于等于0恒成立,则只需要Δ=a2-4≤0,a2≤4⇒-2≤a≤2.

答案:[-2,2]

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