2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：10.8　二项分布、正态分布及其应用

温馨提示：

    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

第八节　二项分布、正态分布及其应用

知识体系

必备知识

1.条件概率

(1)定义:

设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.

(2)性质:

①条件概率具有一般概率的性质,即0≤P(B|A)≤1;

②如果B,C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).

2.相互独立事件

(1)定义:

设A,B是两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.

(2)性质:

若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.

3.独立重复试验概率公式

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验的结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).

4.二项分布的定义

在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.

5.正态曲线的定义

函数φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

6.正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记作N(μ,σ2).

7.正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴的上方,与x轴不相交.

(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

(3)曲线在x=μ处达到峰值 .

(4)曲线与x轴之间的面积为1.

(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

8.3σ原则

(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682__7. 

(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954__5. 

(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997__3. 

注意点:

(1)易混“相互独立”和“事件互斥”

两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥.

(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)

前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.

基础小题

1.给出下列说法:

(1)相互独立事件就是互斥事件.

(2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.

(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.

(4)在正态分布函数φμ,σ(x)=中的μ是正态分布的期望值,σ是正态分布的标准差.

其中正确的说法的个数为 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.(1)错误.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥.

(2)错误.因为只有两个事件是相互独立事件时,公式P(AB)=P(A)P(B)才成立.

(3)错误.二项分布是一个概率分布,是一个用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布,其公式相当于二项展开式的通项公式,其中的a=1-p,b=p.

(4)正确.由正态分布函数可知,μ是正态分布的期望值,σ是正态分布的标准差.

2.(教材改编)某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,则理论上在80分到90分的人数是              (　　)

A.32 B.16 C.8 D.20

【解析】选B.因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102),所以P(|x-80|<10)=

0.682 7,根据正态曲线的对称性知:位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半.所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16.

3.设10件产品中有4件不合格,从中任意取两件,则在所取得的产品中发现有一件是不合格品的情况下,另一件也是不合格品的概率是              (　　)

A.0.2  B.0.3  C.0.4  D.0.5

【解析】选A.记“有一件是不合格品”为事件A,“另一件也是不合格品”为事件B,

则P(A)==,P(AB)==,

所以P(B|A)==0.2.

4.设随机变量X～B,则P(X=3)等于 (　　)

A. B. C.  D.

【解析】选A. X～B,由二项分布可得,

P(X=3)=·=.

5.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为              (　　)

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为

P(k=2)=×0.62×(1-0.6),

投中3次的概率为P(k=3)=0.63,

所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)

=×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.

关闭Word文档返回原板块