2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：5.2 等差数列及其前n项和
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第二节 等差数列及其前n项和
知识体系
必备知识
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
1.易错点:
(1)等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d).
令p=d,q=a1-d,则an=pn+q,其中p,q为常数.
①当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,数列{an}的图象是直线y=px+q上均匀分布的一群孤立的点,且当d>0时,数列{an}为递增数列,当d<0时,数列{an}为递减数列.
②当p=0时,an=q,等差数列为常数列,数列{an}的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上均匀分布的一群孤立的点.
(2)等差数列与二次函数
首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列{an}的前n项和公式:Sn==
na1+d.
令p=,q=a1-,可得Sn=pn2+qn,则
①当p≠0,即d≠0时,Sn是关于n的二次函数,点(n,Sn)是y=px2+qx的图象上一系列孤立的点;
②当p=0,即d=0时,Sn是关于n的一次函数(q≠0,即a1≠0)或常函数(q=0,即a1=0),点(n,Sn)是直线y=qx上一系列孤立的点.
2.注意点:与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质:
设等差数列{an}(公差为d)和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,
(1)数列{}是等差数列,首项为a1,公差为d.
(2)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Sm k-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.
(3)若数列{an}共有2n项,则S偶-S奇=nd,
=.
(4)若数列{an}共有2n-1项,
则S奇-S偶=an,=(S奇=nan,S偶=(n-1)an).
(5)=,=·.
基础小题
1.下面结论正确的是________(只填序号).
(1)若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.
(5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.
(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.
【解析】由等差数列的定义可知:(1)错在若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,应该是同一常数;(2)正确;(3)正确,当d>0时,等差数列{an}是递增数列;当d<0时,等差数列{an}是递减数列;当d=0时,等差数列{an}是常数列;(5)错,因为-an=n中,每一项与它的前一项的差不是同一个常数.由数列的通项公式可知:(4)错,当d=0的时候等差数列{an}是常数列,不是关于n的一次函数;(6)正确.
答案:(2)(3)(6)
2.(教材改编)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.6
【解析】选B.因为{an}为等差数列,所以2a4=a2+a6,所以a6=2a4-a2,即a6=2×2
-4=0.
3.(教材改编)等差数列{an}的前三项为x-1,x+1,2x+3,则这个数列的通项公式为 ( )
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
【解析】选B.因为等差数列{an}的前三项为x-1,x+1,2x+3,所以2(x+1)=(x-1)+
(2x+3),解得x=0.
所以a1=-1,a2=1,d=2,故an=-1+(n-1)×2=2n-3.
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5= ( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【解析】选A.因为a1+a5=2a3,所以a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,所以S5=
=5a3=5.
5.在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为 ( )
A.9 B.12 C.16 D.7
【解析】选A.因为S4=1,S8=4,
所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16构成首项为1,公差为2的等差数列,所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=1+2×(5-1)=9.
6.在等差数列{an}中,已知a4+a10=12,则该数列前13项和S13=________.
【解析】由等差数列的性质与前n项和公式,得S13===78.
答案:78
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