2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十章第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

复习目标
学法指导
1.与垂直有关命题的真假判定.
2.锥体、柱体中的垂直证明.
3.折叠问题中的证明问题.
1.记清各个判定和性质定理的内容,尤其是定理的条件缺一不可.
2.线面垂直往往需要借助线线垂直;面面垂直借助线面垂直,但都要注意“线”的限制条件.
3.折叠问题应还原成几何体进一步解决问题.


一、直线与平面垂直
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
2.直线与平面所成的角

(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.
(2)线面角θ的范围:[0,].

1.概念理解
(1)直线与平面垂直的定义中“任意一条直线”突出了直线的任意性,“任意”≠“无数”;
(2)线面垂直的判定定理中要注意“线”的特殊性(为相交线);
(3)性质定理是推出线线关系;
(4)直线和平面所成角的关键是找出平面角.
2.与线面垂直相关联的结论
(1)a⊥α,b⊂α,则a⊥b,“线面垂直,则线线垂直”;
(2)a⊥α,b∥α,则a⊥b.
二、二面角、平面与平面垂直
1.二面角
(1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-AB-Q.

(2)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

2.平面与平面的垂直
(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

⇒α⊥β

两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

1.概念理解
(1)二面角是由两个半平面和棱构成的,它有锐二面角、直二面角、钝二面角之分;
(2)二面角的探求一般是找到其平面角通过解三角形求得;
(3)判定定理突出了“线面垂直,则面面垂直”,性质定理突出了“面面垂直,则线面垂直”.
2.与面面垂直相关联的结论
(1)α∩β=l,且α⊥γ,β⊥γ,则l⊥γ;
(2)线线垂直线面垂直面面垂直.

1.已知平面α,β和直线m,n满足α⊥β,α∩β=m,则“n⊥m”是“ n⊥α”的(　B　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:因为α⊥β,α∩β=m,n⊥m,所以n⊂α或n∥α或n与α相交,则充分性不成立;因为α⊥β,α∩β=m,n⊥α,所以n⊥m,必要性成立.所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件,故选B.
2.(2018·宁波市高三模拟)已知直线l,m与平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是(　C　)
(A)若l∥m,则必有α∥β
(B)若l⊥m,则必有α⊥β
(C)若l⊥β,则必有α⊥β
(D)若α⊥β,则必有m⊥α
解析:对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,所以选项A错误;对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,所以选项B错误;对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β,所以选项C正确;对于选项D,直线m可能和平面α不垂直,所以选项D错误.故选C.
3.设α,β是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:
①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m∥α,α⊥β,则m⊥β.则(　B　)
(A)①②都是假命题
(B)①是真命题,②是假命题
(C)①是假命题,②是真命题
(D)①②都是真命题
解析:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所以①正确;若m∥α,α⊥β,则m与α不一定垂直,所以②错误.故选B.
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　C　)
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:

如图所示,取BC的中点E,连接AE,DE,可知AE⊥侧面BB1C1C.∠ADE就是AD与侧面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则在Rt△AED中,ED=a,AE=a,tan ∠ADE=,所以∠ADE=60°.故选C.

考点一　直线与平面垂直的判定和性质
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

证明:(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD,
因为AC⊥CD,且PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,
所以CD⊥AE.
证明:(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
因为E是PC的中点,
所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,
所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD且PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE=A,
所以PD⊥平面ABE.
(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①线面垂直的定义;②判定定理;③平行线垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);④面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);⑤面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.


(2019·浙江省重点中学期末卷)如图,等腰直角△ABC中∠B是直角,平面ABEF⊥平面ABC,2AF=AB=BE,∠FAB=60°,AF∥BE.
(1)求证:BC⊥BF;
(2)求直线BF与平面CEF所成角的正弦值.
(1)证明:直角△ABC中∠B是直角,即BC⊥AB,
平面ABC⊥平面ABEF,
平面ABC∩平面ABEF=AB,
BC⊂平面ABC,
所以BC⊥平面ABEF,
又BF⊂平面ABEF,所以BC⊥BF.
(2)解:法一　

作BG⊥EF,连接CG.
由(1)知BC⊥平面ABEF,
得到BC⊥EF,
又BG⊥EF,所以EF⊥平面BCG.
又因为EF⊂平面CEF,
所以平面BCG⊥平面CEF.
作BH⊥CG,易得BH⊥平面CEF,
则∠BFH即为所求线面角.
设AF=1,由已知得AB=BE=2,BF=,
BG=,BH=,
sin∠BFH===.
则直线BF与平面CEF所成角的正弦值为.
法二　

建立如图所示空间直角坐标系B-xyz,
设AF=1.
由已知B(0,0,0),C(0,2,0),
F(,0,),E(-1,0,),=(,0, ), =(1,2,-),=(,0,-),
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则有

即
令x=,则z=5,y=2.
即n=(,2,5).
所以直线BF与平面CEF所成角的正弦值
sin θ=|cos |==.
法三　(等积法):设2AF=AB=BE=2,
因为△ABC为等腰三角形,AB=BC=2,∠FAB=60°,2AF=AB,
所以∠AFB=90°,
又AF∥BE,所以EB⊥BF.
由(1)知,BC⊥平面ABEF,EB⊂平面ABEF,
所以EB⊥BC,CB∩BF=B,BF⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,
所以EB⊥平面BCF,
又因为BC⊥BF,则有BF=,CF=,EF=,CE=2.
令B到平面EFC距离为d,有d=×2××2⇒d=,
故直线BF与平面CEF所成角的正弦值
sin θ==.
考点二　面面垂直的判断与性质
[例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点,求证:

(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,
所以PA⊥底面ABCD.
证明:(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
证明:(3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD,AD⊥CD,
由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.又AD∩PA=A,
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.
又CD⊂平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°).
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.
②两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.

(2019·北京卷) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.

(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形,
所以BD⊥AC.
又PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,
所以AE⊥CD.
所以AB⊥AE.
又AB∩PA=A,
所以AE⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAE,
所以平面PAB⊥平面PAE.

(3)解:棱PB上存在点F,使得CF∥平面PAE.理由如下:
如图,取PB的中点F,PA的中点G,连接CF,FG,EG,
则FG∥AB,且FG=AB.
因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,
所以CE∥AB,且CE=AB.
所以FG∥CE,且FG=CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.
所以CF∥EG.
因为CF⊄平面PAE,EG⊂平面PAE,
所以CF∥平面PAE.
考点三　线面角、二面角的求法
[例3] (2019·浙江卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.

(1)证明:EF⊥BC;
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
法一　

(1)证明:如图①,连接A1E.
因为A1A=A1C,E是AC的中点,
所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
所以A1E⊥平面ABC,
则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,
故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
(2)解:如图①,取BC的中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA1是平行四边形.
由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,
所以平行四边形EGFA1为矩形.
由(1)得BC⊥平面EGFA1,
则平面A1BC⊥平面EGFA1,
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于点O,
则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).
不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2,EG=.
由于O为A1G的中点,
故EO=OG==,
所以cos∠EOG==.
因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
法二　

(1)证明:连接A1E.
因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⊥平面ABC.
如图②,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.
不妨设AC=4,则A1(0,0,2),B(,1,0),B1(,3,2),F(,,2),C(0,2,0).
因此,=( ,,2),=(-,1,0).
所以·=0,
所以EF⊥BC.
法二(2)解:设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
由(1)可得=(-,1,0),=(0,2,-2).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).
由得
取n=(1,,1),
故sin θ=|cos<,n>|==,
所以cos θ=.
因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
求线面角、二面角的关键
(1)求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影.
(2)求二面角的关键是找到二面角的平面角,常见的方法有:
①定义法;②垂面法.

(2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明:因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=2.
如图,连接OB.
因为AB=BC=AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,
得PO⊥平面ABC.

(2)解:如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,
建立空间直角坐标系Oxyz.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).
取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).
设M(a,2-a,0)(0≤a≤2),则=(a,4-a,0).
设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).
由·n=0,·n=0得

可取y=a,得平面PAM的一个法向量为n=((a-4),a,-a),
所以cos<,n>=.
由已知可得|cos<,n>|=cos 30°=,
所以=,
解得a=-4(舍去)或a=.
所以n=(-,,-).
又=(0,2,-2),
所以cos<,n>=,
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
考点四　易错辨析
[例4] (2018·浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.

(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
法一　(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB得AB1=A1B1=2,
所以A1+A=A.
故AB1⊥A1B1.
由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,
得B1C1=,
由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2,
由CC1⊥AC,得AC1=,
所以A+B1=A,故AB1⊥B1C1.
又因为A1B1∩B1C1=B1,
因此AB1⊥平面A1B1C1.
法一(2)解:

如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.
由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1,
由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1,
所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.
由B1C1=,A1B1=2,A1C1=,得
cos∠C1A1B1=,sin∠C1A1B1=,
所以C1D=,故sin∠C1AD==.
因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
法二　(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:

A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0, ,1),
因此=(1,,2),=(1,,-2),
=(0,2,-3),
由·=0得AB1⊥A1B1.
由·=0得AB1⊥A1C1.
所以AB1⊥平面A1B1C1.
法二(2)解:设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知
=(0,2,1),=(1,,0),=(0,0,2),
设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z).
由得可取n=(-,1,0).
所以sin θ=|cos<,n>|==.
因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.

面面垂直关系的证明
[例题] (2018·江苏卷)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.

求证:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
证明:(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

规范要求:(1)线面垂直的判定定理中必须要有相交线;
(2)证明面面垂直一定说清一个平面的垂线在另一个平面内.
[规范训练] 如图,平行四边形ABCD⊥平面CDE,AD=DC=DE=4,∠ADC=60°,AD⊥DE.

(1)求证:DE⊥平面ABCD;
(2)求二面角C-AE-D的余弦值的大小.
(1)证明:过A作AH⊥DC交DC于H.
因为平行四边形ABCD⊥平面CDE,
所以AH⊥平面CDE,
又DE⊂平面CDE,
所以AH⊥DE,
又AD⊥DE,AH∩AD=A,
所以DE⊥平面ABCD.

(2)解:过C作CM⊥AD交AD于M,
过C作CN⊥AE交AE于N,连接MN.
由(1)得DE⊥平面ABCD,
又CM⊂平面ABCD,所以DE⊥CM,
又CM⊥AD,AD∩DE=D,
所以CM⊥平面ADE,
所以CM⊥AE,
又CN⊥AE,且CM∩CN=C,
所以AE⊥平面CMN,得∠CNM就是所求二面角的一个平面角.又CM=2,MN=,
△CMN为直角三角形,
所以CN=,
所以所求二面角的余弦值为.

类型一　直线与平面垂直的判断与性质
1.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中不正确的是(　C　)
(A)若m⊥α,m⊥β,则α∥β
(B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α
(C)若m∥α,α∩β=n,则m∥n
(D)若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
解析:因为垂直于同一条直线的两平面平行,故A正确;因为平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,故B正确;若m∥α,α∩β=n,则m,n可能平行也可能异面,故C错误;由平面和平面垂直的判定定理可得若m⊥α,m⊂β,则α⊥β,故D正确,故选C.
2.若α,β是两个相交平面,m为一条直线,则下列命题中,所有真命题的序号为　　　　　. 
①若m⊥α,则在β内一定不存在与m平行的直线;
②若m⊥α,则在β内一定存在无数条直线与m垂直;
③若m⊂α,则在β内不一定存在与m垂直的直线;
④若m⊂α,则在β内一定存在与m垂直的直线.
解析:对于①,若m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内存在与m平行的直线,故①错误;对于②,若m⊥α,则m垂直于平面α内的所有直线,故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直,故②正确;对于③④,若m⊂α,则在平面β内一定存在与m垂直的直线,故③错误,④正确.
答案:②④
类型二　面面垂直的判断与性质
3.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　D　)
⇒
(A)平面ABD⊥平面ABC
(B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC
(D)平面ADC⊥平面ABC
解析:平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,从而CD⊥平面ABD,
所以CD⊥AB,而AB⊥AD,AD∩CD=D,
所以AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC,故选D.
4.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有　　　　　对. 
解析:

由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.
答案:7
类型三　线面角、二面角的求法
5.(2018·杭州市学军中学5月模拟考试)已知在矩形ABCD中,AD=AB,沿直线BD将△ABD折成△A′BD,使得点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界),设二面角A′-BD-C的大小为θ,直线A′D,A′C与平面BCD所成的角分别为α,β,则(　D　)
(A)α<θ<β (B)β<θ<α
(C)β<α<θ (D)α<β<θ
解析:

如图,因为四边形ABCD为矩形,所以BA′⊥A′D,
当A′点在底面上的射影O落在BC上时,
有平面A′BC⊥底面BCD,
又DC⊥BC,
可得DC⊥平面A′BC,则DC⊥BA′,
所以BA′⊥平面A′DC,
在Rt△BA′C中,设BA′=1,则BC=,
所以A′C=1,说明O为BC的中点;
当A′点在底面上的射影E落在BD上时,
可知A′E⊥BD,
设BA′=1,则A′D=,
所以A′E=,BE=.
要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内(不含边界),则点A′的射影F落在线段OE上(不含端点).可知∠A′EF为二面角A′-BD-C的平面角θ,直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α,
直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β,
可求得DF>CF,
所以A′C 而A′C的最小值为1,
所以sin∠A′DF 则α<β<θ.故选D.