2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第六节　离散型随机变量的均值与方差

第六节　离散型随机变量的均值与方差

一、离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n.

(1)均值:称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.

(2)方差:称D(X)= 为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差.

二、均值与方差的性质

1.E(aX+b)=aE(X)+b.

2.D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).

三、常用随机变量的均值

1.两点分布:若,则E(X)=p.

2.二项分布:若X～B(n,p),则E(X)=np.

1.概念(公式)理解

(1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.

(2)均值的单位与随机变量的单位相同.

(3)方差刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度.方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.

(4)方差的单位是随机变量单位的平方.

(5)方差是随机变量与其均值差的平方的均值,即D(X)是(X-E(X))2的期望.

2.常用随机变量的方差

(1)两点分布:若,则D(X)=p(1-p).

 (2)二项分布:若X～B(n,p),则D(X)=np(1-p).

1.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a,b的值分别是(　D　)

(A), (B), 

(C), (D),

解析:由分布列的性质可得a+b+c+=1,①

又可得E(ξ)=-a+c+2×=-a+c+=0,②

D(ξ)=(-1-0)2a+(0-0)2b+(1-0)2c+(2-0)2×=1,

化简可得a+c+=1,③

联立②③可解得a=,c=,代入①可得b=.

故选D.

2.若随机变量ξ～B(n,p),E(ξ)=,D(ξ)=,则p等于(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意可知,

解方程组可得

故选A.

3.(2019·金色联盟联考)已知随机变量X的分布列如下,若E(X)=0.5,则mn=　　　　,D(X)=　　　　. 

解析:由题意知⇒

所以mn=0.06;

D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.7-0.25=0.45.

答案:0.06　0.45

考点一　离散型随机变量的均值与方差

[例1] 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.

(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c.

解:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6,

故P(ξ=2)==,

P(ξ=3)==,

P(ξ=4)==,

P(ξ=5)==,

P(ξ=6)==.

所以ξ的分布列为

(2)由题意知η的分布列为

所以E(η)=++=,

D(η)=(1-)2·+(2-)2·+(3-)2·=.

化简得

解得a=3c,b=2c,

故a∶b∶c=3∶2∶1.

(1)求离散型随机变量的均值与方差,可依题设条件求出随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解;

(2)由已知均值或方差求参数值,可依据条件利用均值、方差公式列含有参数的方程(组)求解;

(3)注意随机变量的均值与方差的性质的应用.

考点二　与两点分布、二项分布有关的均值、方差

[例2] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.

(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率;

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X).

解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个”,

因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,

P(A2)=0.003×50=0.15,

P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为

P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,

P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,

P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,

P(X=3)=·0.63=0.216.

分布列为

因为X～B(3,0.6),

所以期望E(X)=3×0.6=1.8,

方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

若随机变量X服从二项分布,则求X的均值或方差可利用定义求解,也可直接利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.

某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

解:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.

记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,

则事件A的对立事件为“X=5”,

因为P(X=5)=×=,

所以P(A)=1-P(X=5)=,

即这2人的累计得分X≤3的概率为.

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).

由已知可得,X1～B(2,),X2～B(2,),

所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,

因此E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.

因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

考点三　均值与方差在决策中的应用

[例3] 现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:

(1)投资股市:

(2)购买基金:

(1)当p=时,求q的值;

(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围;

(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两个方案中选择一种,已知p=,q=,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.

解:(1)因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,

所以p++q=1.

又因为p=,所以q=.

(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则C=A∪B∪AB,且A,B独立.

由题意可知P(A)=,P(B)=p.

所以P(C)=P(B)+P(A)+P(AB)

=p+(1-p)+p

=+p.

因为P(C)=+p>,即p>,

且p≤.所以<p≤.

(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资,且记X为丙投资股市的获利金额(单位:万元),所以随机变量X的分布列为

则E(X)=3×+0×+(-2)×=.

假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记Y为丙购买基金的获利金额(单位:万元),所以随机变量Y的分布列为

则E(Y)=2×+0×+(-1)×=.

因为E(X)<E(Y),所以丙选择“购买基金”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

　张先生家住H小区,他工作在C科技园区,从家开车到公司上班路上有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.

(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;

(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;

(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.

解:(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为事件A,则

P(A)=×()3+××(1-)2=.

所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为.

(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.

P(X=0)=(1-)×(1-)=,

P(X=1)=×(1-)+(1-)×=,

P(X=2)=×=.

随机变量X的分布列为

E(X)=×0+×1+×2=.

(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,Y～B(3,),

所以E(Y)=3×=.

因为E(X)<E(Y),所以选择L2路线上班最好.

分布列与数学期望

[例题] 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;

(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.

解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},

A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},

B1={顾客抽奖1次获一等奖},

B2={顾客抽奖1次获二等奖},

C={顾客抽奖1次能获奖}.

由题意,A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.

因为P(A1)==,P(A2)==,

所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,①

P(B2)=P(A1+A2)

=P(A1)+P(A2)

=P(A1)P()+P()P(A2)

=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)

=×(1-)+(1-)×

=.②

故所求概率为

P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)

=+

=.③

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,

所以X～B(3,).④

于是P(X=0)=() 0()3=,

P(X=1)=()1()2=,

P(X=2)=()2()1=,

P(X=3)=()3()0=.⑤

故X的分布列为

⑥

X的数学期望为E(X)=3×=.⑦

规范要求:步骤①②③④⑤⑥⑦应齐全,能利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求复杂事件的概率,能分析出离散型随机变量服从二项分布,进而利用公式求得相应概率,写出分布列,求出数学期望.

温馨提示:步骤①②求P(B1),P(B2)时,需将B1,B2转化为可求概率事件的和或积;步骤④⑤,若随机变量服从二项分布,则利用独立重复试验概率公式求取各值的概率,否则,利用古典概型及独立事件概率乘法公式求出取各值的概率;步骤⑦求服从二项分布的随机变量的期望、方差,可直接利用定义求解,也可直接代入E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.

[规范训练] (2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.

(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;

(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.

解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,

故X～B(3,),

从而P(X=k)=()k()3-k,

k=0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.

(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y～B(3,),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.

由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,

从而由(1)知

P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})

=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)

=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)

=×+×

=.

类型一　求方差

1.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的不透明布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意,X～B(5,),

又E(X)==3,

所以m=2,则X～B(5,),

故D(X)=5××(1-)=.

2.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p等于(　B　)

(A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3

解析:由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布,即X～B(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,

所以p=0.4或0.6.

又因为P(X=4)<P(X=6),

所以p4(1-p)6<p6(1-p)4,所以p>0.5,所以p=0.6.故选B.

3.(2019·湖州三校4月联考)已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球,每个小球上有一个数字,它们的个数依次成等差数列,从中随机抽取一个小球,若取出小球上的数字X的数学期望是2,则X的方差是(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:可以设小球的个数为a-d,a,a+d,故数字X的分布列为:

所以E(X)=1×+2×+3×==2,

解得d=0,

所以取出小球上的数字X的分布列为:

所以E(X2)==.

所以D(X)=E(X2)-E2(X)=-22=.

故选B.

4.(2019·绍兴柯桥模拟)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则P(ξ=1)=　　　　,D(ξ)=　. 

解析:可设p(ξ=1)=a,p(ξ=2)=b,

则解得

D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=-1=.

答案:　

类型二　求期望

5.(2019·暨阳4月联考)已知随机变量ξ,η满足η=-ξ+8,若E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,则E(η),D(η)分别为(　C　)

(A)E(η)=6,D(η)=2.4 (B)E(η)=6,D(η)=5.6

(C)E(η)=2,D(η)=2.4 (D)E(η)=2,D(η)=5.6

解析:E(η)=E(-ξ+8)=-E(ξ)+8=2,D(η)=D(-ξ+8)=(-1)2D(ξ)=2.4.

故选C.

6.(2019·嘉兴市高三上期末)已知随机变量ξ的分布列如下,则E(ξ)的最大值是(　B　)

(A)- (B)- (C)- (D)-

解析:根据题意:

⇒a=b,a∈(-,),

E(ξ)=(-1)×+0×(+a)+a×(-a)=-(a-)2-,

当a=时,E(ξ)取到最大值为-.

故选B.

7.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表:

请小牛同学计算ξ的均值.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=　　　　. 

解析:设“?”处的数值为x,则“!”处的数值为1-2x,

则E(ξ)=1×x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.

答案:2

8.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是　　　　. 

解析:设向上的数之积为X,X的可能取值为0,1,2,4,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=4)==,

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=4)=1-=,

所以E(X)=0×+1×+2×+4×=.

答案: