2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十三章第四节　随机事件的概率与古典概型

第四节　随机事件的概率与古典概型复习目标学法指导1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.2.了解互斥事件的概率加法公式.3.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.1.了解频率与概率的关系,能把复杂事件分解为几个彼此互斥事件的和或找出它的对立事件是求随机事件概率的关键.2.求解古典概型的关键是利用列举法或排列、组合求出基本事件数.一、事件的概念与性质1.事件的相关概念(1)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件;(2)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件;(3)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.2.频率与概率(1)频率在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.(2)概率对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.3.事件的关系与运算 定义符号表示包含关系对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥A∩B=对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B=且A∪B=Ω4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)=1.(3)不可能事件的概率P(F)=0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).1.概念理解(1)随机试验的所有结果是明确可知的,但不止一个,每次试验总是出现这些结果中的一个.(2)频率是随机的,而概率是一个确定的值,概率是大量重复试验事件发生频率的期望值,常常通过做大量重复试验用频率来估计概率.(3)互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.也就是说,两事件对立是两事件互斥的一种特殊情况.(4)并(和)事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.2.概率加法公式的推广若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则(1)P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);(2)P()=1-P(A1)-P(A2)-…-P(An).二、古典概型1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.(2)计算公式:P(A)= .概念理解(1)判断一个试验是否是古典概型,关键看这个试验是否具有有限性和等可能性两个特征.(2)使用古典概型概率公式时,首先判断是否为古典概型,再计算.1.装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是(　D　)(A)“至少有一个黑球”与“都是黑球”(B)“至少有一个黑球”与“都是红球”(C)“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”(D)“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析:A选项中的两个事件是包含关系;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.故选D.2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么乙不输的概率是(　B　)(A)20% (B)70% (C)80% (D)30%3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b≥a的概率是(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:所有的选法共有5×3=15种,其中满足b≥a的选法有1+2+3=6种,故b≥a的概率是=.4.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(　D　)(A) (B) (C) (D)解析:甲、乙都未被录用的概率为=,所以甲或乙被录用的概率为1-=.5.下列说法正确的是(　C　)(A)任一事件的概率总在(0,1)内(B)不可能事件的概率不一定为0(C)必然事件的概率一定为1(D)以上均不对解析:任一事件的概率总在[0,1]内,所以A错.不可能事件的概率一定为0,所以B错.必然事件的概率一定为1,C正确.故选C.6.(2019·宁波市高三上期末联考)新春将近,为了迎接新年,小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡,设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入,则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为　　　　. 解析:为了迎接新年,五人写好心愿卡随机放入一个漂流瓶的基本事件总数为N==120种,事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件总数为M=++=31种,所以事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为P==.答案:7.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白球的概率为0.28,若红球有21个,则黑球有　　　　个. 答案:15考点一　随机事件的关系判断[例1] 从6件正品与3件次品中任取3件.观察正品件数与次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”;(2)“至少有1件次品”和“全是次品”;(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”.解:从6件正品与3件次品中任取3件共有4种情况:①3件全是正品,②2件正品1件次品,③1件正品2件次品,④3件全是次品.(1)“恰好有1件次品”即②;“恰好有2件次品”即③,它们是互斥事件但不是对立事件,(2)“至少有1件次品”包括②,③,④,“全是次品”即④,所以它们不是互斥事件.(3)“至少有2件次品”包括③,④;“至多有1件次品”包括①,②,它们是互斥事件且是对立事件. 判断是否为互斥事件的关键是看两个事件能否同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件.具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而判断出所给事件的关系.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:①至少有1个白球与至少有1个黄球;②至少有1个黄球与都是黄球;③恰有1个白球与恰有1个黄球;④恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有(　B　)(A)0组 (B)1组 (C)2组 (D)3组解析:①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰好1个白球和1个黄球,故两个事件不是互斥事件;②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,故两个事件不互斥;③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球,故两个事件是同一事件;④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.考点二　互斥事件与对立事件的概率[例2] 某战士射击一次,问:(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少?(2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为多少?不够9环的概率为多少?解:(1)设中靶为事件A,则不中靶为.则由对立事件的概率公式可得,P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.(2)设命中10环为事件B,命中9环为事件C,命中8环为事件D,由题意知P(B)=0.27,P(C)=0.21,P(D)=0.24.记至少命中8环为事件E,则P(E)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.27+0.21+0.24=0.72.记至少命中9环为事件F,则P(F)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.27+0.21=0.48.故不够9环为,则P()=1-P(F)=1-0.48=0.52. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解:(1)P(A)=,P(B)==,P(C)==.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.因为A,B,C两两互斥,所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==.故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.考点三　简单古典概型[例3] (1)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5,当a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5时称为波形数,则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是　　　　; (2)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=　　　　. 解析:(1)因为a2>a1,a2>a3,a4>a3,a4>a5,所以a2只能是3,4,5中的一个.①若a2=3,则a4=5,a5=4,a1与a3是1或2,这时共有=2(个)符合条件的五位数.②若a2=4,则a4=5,a1,a3,a5可以是1,2,3,共有=6(个)符合条件的五位数.③若a2=5,则a4=3或4,此时分别与①②中的个数相同.所以满足条件的五位数有2(+)=16(个).又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有=120(个),故所求概率为=.(2)由题意知n>4,取出的两数之和等于5的有两种情况:1+4,2+3.从n个数中取出两数,不同的结果为.所以取出两数之和等于5的概率为P==.即=28,解得n=8.答案:(1)　(2)8 有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出.(2)基本事件总数较多时,常利用排列、组合以及计数原理求基本事件数.提醒:使用古典概型概率公式时,每个基本事件发生必须是等可能的.1.从3名男同学,2名女同学中任选2人参加知识竞赛,则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是　　　　. 解析:都是女同学的概率是=,所以至少有1名男同学的概率是1-=.答案:2.在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量m=(a,b),从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,则平行四边形的面积等于2的概率为　　　　. 解析:因为a的取法有2种,b的取法有2种,所以向量m=(a,b)有4个,分别为m1=(2,1),m2=(2,3),m3=(4,1),m4=(4,3),从中任取两个向量,共=6(种)取法.设选取的两个向量为a,b,它们的夹角为θ,则cos θ=,所以以a,b为邻边的平行四边形的面积S=2×|a|·|b|sin θ=,若S=2,则(|a|·|b|)2-(a·b)2=4.当a=(2,1),b=(4,1)时,满足条件,当a=(2,1),b=(4,3)时,满足条件,所以满足条件的向量有2组,所以所求概率P=.答案:考点四　复杂的古典概型的概率[例4] 现有一个质地均匀的正四面体骰子,每个面上分别标有数字1,2,3,4,将这个骰子连续投掷两次,朝下一面的数字分别记为a,b,试计算下列事件的概率:(1)事件A:a=b;(2)事件B:函数f(x)=ax2-bx+1在区间[,+∞)上为增函数.解:将骰子投掷一次有4种结果,所以投掷两次有16种结果.(1)事件A包含4种结果.由古典概型的概率计算公式可得P(A)=.(2)因为函数f(x)=ax2-bx+1在区间[,+∞)上为增函数,所以即b≤a(a>0).所以记投掷结果为(a,b),事件B包含6种结果:(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3).由古典概型的概率计算公式可得P(B)=. (1)当所求事件情况较复杂时,常把所求事件转化为彼此互斥事件的和,或考虑其对立事件求解.(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用对立事件的概率加法公式P(A)=1-P()求解.